Найдите область определения функции: y = lg(4x ^ 2 + 11x)
Чтобы найти область определения функции \( y = \lg(4x^2 + 11x) \), необходимо помнить, что логарифм (в данном случае, десятичный логарифм) определён только для положительных аргументов. Это значит, что выражение внутри логарифма должно быть больше нуля:
\[ 4x^2 + 11x > 0 \]
Давайте решим неравенство:
Сначала найдем корни квадратичного уравнения \( 4x^2 + 11x = 0 \): \[ x(4x + 11) = 0 \] Это уравнение имеет два корня: \( x = 0 \) и \( 4x + 11 = 0 \) (откуда \( x = -\frac{11}{4} \)).
Теперь у нас есть два корня: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -\frac{11}{4} \). Эти корни делят числовую прямую на три интервала:
- \( (-\infty, -\frac{11}{4}) \)
- \( (-\frac{11}{4}, 0) \)
- \( (0, +\infty) \)
Проверим знак выражения \( 4x^2 + 11x \) на каждом из этих интервалов:
Для \( x < -\frac{11}{4} \) (например, \( x = -3 \)): \[ 4(-3)^2 + 11(-3) = 36 - 33 = 3 > 0 \]
Для \( -\frac{11}{4} < x < 0 \) (например, \( x = -2 \)): \[ 4(-2)^2 + 11(-2) = 16 - 22 = -6 < 0 \]
Для \( x > 0 \) (например, \( x = 1 \)): \[ 4(1)^2 + 11(1) = 4 + 11 = 15 > 0 \]
Таким образом, функция \( y = \lg(4x^2 + 11x) \) определена на интервалах \( (-\infty, -\frac{11}{4}) \) и \( (0, +\infty) \).
Итак, область определения функции: \( (-\infty, -\frac{11}{4}) \cup (0, +\infty) \).
