Найдите область определения функции: y = lg(4x ^ 2 + 11x)
Чтобы найти область определения функции \( y = \lg(4x^2 + 11x) \), нам нужно учесть, что аргумент логарифма должен быть положительным. То есть, мы должны решить неравенство:
\[ 4x^2 + 11x > 0. \]
Для начала, произведем факторизацию левой части. Мы можем вынести \( x \):
\[ x(4x + 11) > 0. \]
Теперь определим корни этого неравенства. Корень первого множителя будет равен нулю, когда \( x = 0 \). Теперь найдём, когда второй множитель равен нулю:
\[ 4x + 11 = 0 \Rightarrow 4x = -11 \Rightarrow x = -\frac{11}{4}. \]
Теперь у нас есть два критических значения: \( x = 0 \) и \( x = -\frac{11}{4} \). Мы используем эти значения для деления числовой оси на интервалы:
- \( (-\infty, -\frac{11}{4}) \)
- \( (-\frac{11}{4}, 0) \)
- \( (0, +\infty) \)
Теперь проверим знак выражения \( x(4x + 11) \) на каждом из этих интервалов:
На интервале \( (-\infty, -\frac{11}{4}) \): возьмём, например, \( x = -3 \). \[ -3(4(-3) + 11) = -3(-12 + 11) = -3(-1) = 3 > 0. \] Таким образом, на данном интервале неравенство выполняется.
На интервале \( (-\frac{11}{4}, 0) \): возьмём, например, \( x = -2 \). \[ -2(4(-2) + 11) = -2(-8 + 11) = -2(3) = -6 < 0. \] На этом интервале неравенство не выполняется.
На интервале \( (0, +\infty) \): возьмём, например, \( x = 1 \). \[ 1(4(1) + 11) = 1(4 + 11) = 1(15) = 15 > 0. \] На этом интервале неравенство выполняется.
Теперь мы можем объединить результаты. Область определения функции будет состоять из интервалов, где неравенство выполняется:
\[ x \in (-\infty, -\frac{11}{4}) \cup (0, +\infty). \]
Таким образом, область определения функции \( y = \lg(4x^2 + 11x) \) – это \( (-\infty, -\frac{11}{4}) \cup (0, +\infty) \).
