Найдите наименьшие положительные значения x, y удовлетворяющие уравнение (sinx-cosx) (√3siny+cosy) =√2*2.В ответ запишите их сумму

Для решения уравнения \((\sin x - \cos x)(\sqrt{3} \sin y + \cos y) = \sqrt{2} \cdot 2\) начнем с разбиения его на составляющие части.

1. Рассмотрим первую часть: \(\sin x - \cos x\). Мы можем использовать известное свойство: \[ \sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4}). \] Теперь нам нужно, чтобы \(|\sin x - \cos x| \leq \sqrt{2}\). Значит, для максимального значения: \[ |\sin x - \cos x| = 2 \Rightarrow \sqrt{2}|\sin(x - \frac{\pi}{4})| = 2 \Rightarrow |\sin(x - \frac{\pi}{4})| = 1. \] Это происходит при \(x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + n\pi\) для любых целых \(n\). Таким образом, наименьшее положительное значение \(x\) будет: \[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}. \]

2. Рассмотрим вторую часть: \(\sqrt{3}\sin y + \cos y\). Запишем это в удобной форме: \[ \sqrt{3}\sin y + \cos y = 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin y + \frac{1}{2}\cos y\right). \] Это аналогично: \[ 2\sin(y + \frac{\pi}{6}). \] Теперь, чтобы получить \(2\) (равно \(\sqrt{2} \cdot 2\)), мы получаем: \[ 2|\sin(y + \frac{\pi}{6})| = 2 \Rightarrow |\sin(y + \frac{\pi}{6})| = 1. \] Это происходит при \(y + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + m\pi\) для любых целых \(m\). Таким образом, наименьшее положительное значение \(y\) будет: \[ y = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{3}. \]

Теперь суммируем найденные значения \(x\) и \(y\): \[ x + y = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{3}. \] Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю (12): \[ \frac{3\pi}{4} = \frac{9\pi}{12}, \quad \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{12}. \] Таким образом: \[ x + y = \frac{9\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}. \]

Ответ: сумма наименьших положительных значений \(x\) и \(y\) равна \(\frac{13\pi}{12}\).