Решите дробно- рациональные уравнения

Конечно! Давайте решим дробно-рациональное уравнение, шаг за шагом.

Допустим, у нас есть уравнение вида:

\[ \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 3} = \frac{3}{x^2 + 2x - 3} \]

1. Определим область допустимых значений: Убедитесь, что знаменатели не равны нулю. То есть:

   • \(x - 1 \neq 0\) ⇒ \(x \neq 1\)
   • \(x + 3 \neq 0\) ⇒ \(x \neq -3\)
   • \(x^2 + 2x - 3 \neq 0\): сначала найдем корни этого уравнения. Уравнение можно разложить на множители: \[ x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) \Rightarrow x \neq -3 \text{ и } x \neq 1 \] Таким образом, области допустимых значений: \(x \neq 1\) и \(x \neq -3\).

2. Приведем дроби к общему знаменателю: Общий знаменатель для всех дробей будет \((x - 1)(x + 3)\).

   Перепишем уравнение: \[ \frac{1(x + 3) + 2(x - 1)}{(x - 1)(x + 3)} = \frac{3}{(x - 1)(x + 3)} \]

3. Упростим числители: Слева: \[ 1(x + 3) + 2(x - 1) = x + 3 + 2x - 2 = 3x + 1 \]

   Теперь уравнение будет: \[ \frac{3x + 1}{(x - 1)(x + 3)} = \frac{3}{(x - 1)(x + 3)} \]

4. Приравняем числители: \[ 3x + 1 = 3 \]

5. Решим уравнение: \[ 3x + 1 - 3 = 0 \Rightarrow 3x - 2 = 0 \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3} \]

6. Проверим, подходит ли найденное решение к области допустимых значений: \(x = \frac{2}{3}\) не равно 1 и не равно -3, значит, это решение допустимо.

Таким образом, решением уравнения является \(x = \frac{2}{3}\). Если у вас есть другие примеры или вопросы, буду рад помочь!