Решите дробно рациональные уравнения 1/х-2х/х+1=0

Для решения дробно-рационального уравнения \(\frac{1}{x} - \frac{2x}{x + 1} = 0\) начнем с приведения его к общему знаменателю.

1. Запишем уравнение: \[ \frac{1}{x} - \frac{2x}{x + 1} = 0 \]

2. Найдем общий знаменатель для дробей. Общий знаменатель будет \(x(x + 1)\).

3. Умножим все части уравнения на \(x(x + 1)\), чтобы избавиться от дробей: \[ 1 \cdot (x + 1) - 2x \cdot x = 0 \]

4. Раскроем скобки: \[ x + 1 - 2x^2 = 0 \]

5. Перепишем уравнение, собрав все слагаемые в одну часть: \[ -2x^2 + x + 1 = 0 \] Умножим на -1 для удобства: \[ 2x^2 - x - 1 = 0 \]

6. Теперь мы можем применить формулу корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = -1\).

7. Найдем дискриминант: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \]

8. Теперь применим формулу для нахождения корней: \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4} \]

   Таким образом, имеем два корня:

   • Первый корень: \[ x_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1 \]
   • Второй корень: \[ x_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} \]

9. Корни уравнения: \( x = 1 \) и \( x = -\frac{1}{2} \).

Не забудьте проверить, что ни один из найденных корней не делает знаменатели изначальных дробей равными нулю:

• Для \(x = 1\) знаменатели: 1 и 2 — допустимо.
• Для \(x = -\frac{1}{2}\) знаменатели: -2 и \(\frac{1}{2}\) — допустимо.

Таким образом, оба корня являются допустимыми решениями уравнения.