В тетрадь написали в несколько положительных чисел.Каждое из них равно шестой части от суммы остальных.Сколько чисел записано в тетради?

Пусть \( n \) — количество положительных чисел, записанных в тетради, и обозначим их как \( x_1, x_2, \ldots, x_n \).

Условие задачи гласит, что каждое число равно шестой части от суммы остальных чисел. Для любого числа \( x_i \) это можно записать так:

\[ x_i = \frac{1}{6} \sum_{j \neq i} x_j \]

Сумма всех чисел может быть выражена как:

\[ \sum_{j=1}^{n} x_j = x_i + \sum_{j \neq i} x_j \]

Из этого уравнения следует:

\[ \sum_{j \neq i} x_j = \sum_{j=1}^{n} x_j - x_i \]

Подставив это в первое уравнение, получим:

\[ x_i = \frac{1}{6} \left( \sum_{j=1}^{n} x_j - x_i \right) \]

Умножим обе стороны на 6:

\[ 6x_i = \sum_{j=1}^{n} x_j - x_i \]

Переносим \( x_i \) на одну сторону:

\[ 7x_i = \sum_{j=1}^{n} x_j \]

Таким образом, для каждого \( i \):

\[ \sum_{j=1}^{n} x_j = 7x_i \]

Это означает, что сумма всех чисел равна 7 умноженной на любое из этих чисел. Поэтому, если обозначить сумму всех чисел через \( S \), то:

\[ S = 7x_i \]

Теперь подставим это значение обратно:

\[ x_1 = \frac{S}{7}, \quad x_2 = \frac{S}{7}, \quad \ldots, \quad x_n = \frac{S}{7} \]

Таким образом, все числа равны \( \frac{S}{7} \). Если мы обозначим каждое число как \( x \), то количество чисел можно выразить как:

\[ n = \frac{S}{x} \]

Из предыдущих соотношений видно, что:

\[ S = nx \]

Сравнив \( S \) по обеим формам, получаем:

\[ nx = 7x \implies n = 7 \]

Таким образом, в тетради записано 7 положительных чисел.