2x квадрат -3x-5 больше или равно 0
Для решения неравенства \(2x^2 - 3x - 5 \geq 0\) сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения \(2x^2 - 3x - 5 = 0\).
Используем формулу квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a = 2\), \(b = -3\), \(c = -5\).
Сначала вычислим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 \]
Теперь находим корни:
\[ x_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 \]
\[ x_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]
Таким образом, корни уравнения: \(x_1 = 2.5\) и \(x_2 = -1\).
Теперь составим числообразную прямую и определим промежутки, в которых выражение \(2x^2 - 3x - 5\) больше или равно нулю.
Анализируем знаки в интервалах:
- \( (-\infty, -1) \)
- \( (-1, 2.5) \)
- \( (2.5, +\infty) \)
Теперь подставим тестовые значения из каждого интервала в неравенство:
Для интервала \((- \infty, -1)\) (например, \(x = -2\)): \[ 2(-2)^2 - 3(-2) - 5 = 8 + 6 - 5 = 9 > 0 \] (положительно)
Для интервала \((-1, 2.5)\) (например, \(x = 0\)): \[ 2(0)^2 - 3(0) - 5 = -5 < 0 \] (отрицательно)
Для интервала \((2.5, +\infty)\) (например, \(x = 3\)): \[ 2(3)^2 - 3(3) - 5 = 18 - 9 - 5 = 4 > 0 \] (положительно)
Таким образом, неравенство \(2x^2 - 3x - 5 \geq 0\ выполняется на интервалах: \[ (-\infty, -1] \quad \text{и} \quad [2.5, +\infty) \] Ответ: \(x \in (-\infty, -1] \cup [2.5, +\infty)\)
