Дано: параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Точки K, L, M и N - середины сторон AD, BC, B₁C₁ и A₁D₁ соответственно. Доказать, что плоскость KLMN || плоскости ABB₁A₁.

Рассмотрим параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Точки K, L, M и N находятся на серединах соответствующих ребер. Нам нужно доказать, что плоскость KLMN параллельна плоскости ABB₁A₁.

1. Определение координат точек:

   • Пусть A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a, b, 0), D(0, b, 0).
   • Точки на верхней грани: A₁(0, 0, h), B₁(a, 0, h), C₁(a, b, h), D₁(0, b, h).

2. Координаты середины сторон:

   • K – середина AD: K(0, b/2, 0).
   • L – середина BC: L(a, b/2, 0).
   • M – середина B₁C₁: M(a, b/2, h).
   • N – середина A₁D₁: N(0, b/2, h).

3. Векторы, лежащие в плоскости KLMN:

   • Вектор KL: KL = L - K = (a, 0, 0).
   • Вектор KN: KN = N - K = (0, 0, h).

4. Определение нормали плоскости KLMN: Найдем векторное произведение KL и KN, чтобы получить нормаль к плоскости KLMN: \[ KL \times KN = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & h \end{vmatrix} = (0h - 0*0)\mathbf{i} - (ah - 0*0)\mathbf{j} + (0 - 0)\mathbf{k} = (0, -ah, 0). \]

5. Нормаль к плоскости ABB₁A₁: Нормаль к плоскости, образованной точками A, B, B₁ и A₁, можно получить с помощью векторов AB и AA₁:

   • Вектор AB = B - A = (a, 0, 0).
   • Вектор AA₁ = A₁ - A = (0, 0, h). \[ AB \times AA₁ = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & h \end{vmatrix} = (0h - 0*0)\mathbf{i} - (ah - 0*0)\mathbf{j} + (0 - 0)\mathbf{k} = (0, -ah, 0). \]

6. Заключение: Мы видим, что нормали плоскости KLMN и плоскости ABB₁A₁ совпадают, это значит, что плоскость KLMN параллельна плоскости ABB₁A₁. Таким образом, мы доказали, что плоскость KLMN || плоскости ABB₁A₁.

Если у вас возникнут дополнительные вопросы или потребуется понимание какого-либо этапа, не стесняйтесь спрашивать!