Баскетболист на тренировке бросает мяч в кольцо 12 раз. Вероятность попадания при каждой отдельной попытке равна 0.4. Во сколько раз вероятность события "ровно 4 попадания" больше вероятности события "ровно 3 попадания"
Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение. Формула для вычисления вероятности получения ровно k успехов (попаданий в кольцо) из n попыток выглядит следующим образом:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]
где:
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \),
- \( p \) — вероятность успеха в каждой попытке (в нашем случае 0.4),
- \( (1-p) \) — вероятность неуспеха.
В данной задаче \( n = 12 \), \( p = 0.4 \), и нам нужно вычислить \( P(X = 4) \) и \( P(X = 3) \).
- Рассчитаем вероятность для \( P(X = 4) \):
\[ P(X = 4) = C(12, 4) \cdot (0.4)^4 \cdot (0.6)^{12-4} \]
Сначала найдем биномиальный коэффициент \( C(12, 4) \):
\[ C(12, 4) = \frac{12!}{4! \cdot (12-4)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495 \]
Теперь подставим в формулу:
\[ P(X = 4) = 495 \cdot (0.4)^4 \cdot (0.6)^8 \] \[ P(X = 4) = 495 \cdot 0.0256 \cdot 0.0168 \approx 495 \cdot 0.00043008 \approx 0.213 \]
- Теперь рассчитаем вероятность для \( P(X = 3) \):
\[ P(X = 3) = C(12, 3) \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^{12-3} \]
Сначала найдем биномиальный коэффициент \( C(12, 3) \):
\[ C(12, 3) = \frac{12!}{3! \cdot (12-3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220 \]
Теперь подставим в формулу:
\[ P(X = 3) = 220 \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^9 \] \[ P(X = 3) = 220 \cdot 0.064 \cdot 0.010616 \approx 220 \cdot 0.00067808 \approx 0.149 \]
- Теперь найдем, во сколько раз вероятность события "ровно 4 попадания" больше вероятности события "ровно 3 попадания":
\[ \frac{P(X = 4)}{P(X = 3)} \approx \frac{0.213}{0.149} \approx 1.43 \]
Таким образом, вероятность события "ровно 4 попадания" больше вероятности события "ровно 3 попадания" примерно в 1.43 раза.
