Доказать что при изменении "а" вершина параболы y=x²+(2a+1)×x+a²+1 описывает прямую
Чтобы доказать, что при изменении параметра "а" вершина параболы \( y = x^2 + (2a + 1)x + (a^2 + 1) \) описывает прямую, необходимо сначала определить координаты вершины данной параболы.
Формула для нахождения координат вершины параболы, заданной в стандартной форме \( y = Ax^2 + Bx + C \), следующая:
- \( x_0 = -\frac{B}{2A} \)
- \( y_0 = -\frac{D}{4A} \) (где \( D \) – дискриминант)
В нашем случае \( A = 1 \), \( B = 2a + 1 \), \( C = a^2 + 1 \).
Находим координаты вершины: \[ x_0 = -\frac{2a + 1}{2 \cdot 1} = -\frac{2a + 1}{2} = -a - \frac{1}{2} \]
Подставляем \( x_0 \) в уравнение параболы для нахождения \( y_0 \): \[ y_0 = (x_0)^2 + (2a + 1)x_0 + (a^2 + 1) \] Подставляем \( x_0 \): \[ y_0 = \left(-a - \frac{1}{2}\right)^2 + (2a + 1)\left(-a - \frac{1}{2}\right) + (a^2 + 1) \]
Вычислим по частям:
\(-a - \frac{1}{2}\) в квадрате: \[ \left(-a - \frac{1}{2}\right)^2 = a^2 + a + \frac{1}{4} \]
Умножим: \[ (2a + 1)\left(-a - \frac{1}{2}\right) = -2a^2 - a - a - \frac{1}{2} = -2a^2 - 2a - \frac{1}{2} \]
Теперь подставим все это в уравнение: \[ y_0 = a^2 + a + \frac{1}{4} - 2a^2 - 2a - \frac{1}{2} + (a^2 + 1) \] Упростим: \[ y_0 = (a^2 - 2a^2 + a^2) + (a - 2a) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1\right) = 0 - a + \left(\frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{4}{4}\right) = -a + \frac{3}{4} \]
Получаем координаты вершины параболы: \[ (x_0, y_0) = \left(-a - \frac{1}{2}, -a + \frac{3}{4}\right) \]
Теперь давайте определим, как меняются \( x_0 \) и \( y_0 \) при изменении \( a \).
- \( x_0 = -a - \frac{1}{2} \) – линейная функция от \( a \).
- \( y_0 = -a + \frac{3}{4} \) – также линейная функция от \( a \).
Таким образом, координаты вершины параболы, когда \( a \) изменяется, описывают прямую, так как обе функции — линейные и зависят от одного и того же параметра \( a \).
Сделав вывод, мы можем утверждать: при изменении параметра \( a \) вершина параболы \( y = x^2 + (2a + 1)x + (a^2 + 1) \) действительно описывает прямую.
