Найди на параболе y=x во второй степени точку, ближайшую к точке A 2; 0,5

Для нахождения точки на параболе \(y = x^2\), ближайшей к точке \(A(2, 0.5)\), можно использовать метод минимизации расстояния. Расстояние \(D\) от произвольной точки \(P(x, y)\) на параболе до точки \(A(2, 0.5)\) можно выразить через следующую формулу:

\[ D = \sqrt{(x - 2)^2 + (x^2 - 0.5)^2} \]

Для упрощения расчетов вместо минимизации \(D\) мы можем минимизировать квадрат расстояния \(D^2\):

\[ D^2 = (x - 2)^2 + (x^2 - 0.5)^2 \]

Разложим это выражение:

\[ D^2 = (x - 2)^2 + (x^2 - 0.5)^2 = (x - 2)^2 + (x^4 - x^2 + 0.25) \]

Теперь подставим выражение \((x - 2)^2\):

\[ D^2 = (x^2 - 4x + 4) + (x^4 - x^2 + 0.25) \]

Соберем все в одном уравнении:

\[ D^2 = x^4 + (x^2 - x^2) - 4x + 4 + 0.25 \] \[ D^2 = x^4 - 4x + 4.25 \]

Для нахождения минимума функции \(D^2\) найдем производную и приравняем её к нулю:

\[ \frac{d(D^2)}{dx} = 4x^3 - 4 \]

Приравняем к нулю:

\[ 4x^3 - 4 = 0 \] \[ x^3 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \]

Теперь находим \(y\) в точке \(P(1, y)\):

\[ y = 1^2 = 1 \]

Таким образом, точка на параболе, ближайшая к точке \(A(2, 0.5)\), имеет координаты \(P(1, 1)\).

Теперь проверим, что находимся в точке минимума, взяв вторую производную:

\[ \frac{d^2(D^2)}{dx^2} = 12x^2 \]

Подставляем \(x = 1\):

\[ \frac{d^2(D^2)}{dx^2}\Big|_{x=1} = 12 \cdot 1^2 = 12 > 0 \]

Это подтверждает, что в точке \(x = 1\) действительно минимум.

Ответ: ближайшая точка на параболе \(y = x^2\) к точке \(A(2, 0.5)\) — \(P(1, 1)\).