Основания трапеции равны 2 и 9. Найдите меньший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Для решения этой задачи сначала напомним, что средняя линия трапеции — это отрезок, который соединяет середины боковых сторон. Длина средней линии равна полусумме оснований трапеции.

В данном случае основания трапеции равны 2 и 9. Давайте найдем длину средней линии:

\[ M = \frac{a + b}{2} = \frac{2 + 9}{2} = \frac{11}{2} = 5.5 \]

Теперь, если одна из диагоналей делит среднюю линию, то по теореме о делении отрезка диагоналями, эта средняя линия делится на два отрезка в отношении оснований трапеции. Это соотношение можно записать как:

\[ \frac{m_1}{m_2} = \frac{a}{b} \]

где \( m_1 \) и \( m_2 \) — длины отрезков, на которые делит середина средней линии диагональ.

В нашем случае основания равны \( a = 2 \) и \( b = 9 \). Таким образом, отрезки будут относиться как:

\[ \frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{9} \]

Обозначим меньший из отрезков как \( m_1 \), а больший как \( m_2 \). Поскольку \( m_1 + m_2 = M = 5.5 \), можем выразить \( m_2 \) через \( m_1 \):

\[ m_2 = 5.5 - m_1 \]

Теперь подставим \( m_2 \) в отношение:

\[ \frac{m_1}{5.5 - m_1} = \frac{2}{9} \]

Перемножим крест-накрест:

\[ 9m_1 = 2(5.5 - m_1) \] \[ 9m_1 = 11 - 2m_1 \] \[ 9m_1 + 2m_1 = 11 \] \[ 11m_1 = 11 \] \[ m_1 = 1 \]

Теперь можем найти \( m_2 \):

\[ m_2 = 5.5 - 1 = 4.5 \]

Таким образом, меньший из отрезков, на которые делит среднюю линию трапеции одна из её диагоналей, равен \( 1 \).