Реши

Давай разберем каждую задачу по порядку.

1. Найдем производные функций:

   a) \( f(x) = \sin(0{,}2x - 19) + \ln\left(\frac{x}{7}\right) + 36 \)

   Производная синуса: \( \cos(0{,}2x - 19) \cdot 0{,}2 \).

   Производная логарифма: \(\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{7x}\).

   Константа имеет производную 0.

   Ответ: \( f'(x) = 0{,}2\cos(0{,}2x - 19) + \frac{1}{7x} \)

   b) \( g(x) = (3x + 5)(4x^2 - x) \)

   Используем правило произведения. Пусть \( u = 3x + 5 \) и \( v = 4x^2 - x \).

   Производная: \( g'(x) = u'v + uv' \).

   \( u' = 3 \), \( v' = 8x - 1 \).

   Ответ: \( g'(x) = 3(4x^2 - x) + (3x + 5)(8x - 1) \)

   c) \( h(x) = \ln\left(\frac{x^4 - 12}{x^2 - 2x}\right) \)

   Используем правило производной логарифма:

   \[ \frac{chislit'}{chislit} - \frac{znamenat'}{znamenat} \]

   Найди производные числителя и знаменателя и подставь.

   Ответ: Сокращенные выражения для нахождения производной.

2. Найти \( f'(x_0) \) для \( f(x) = e^{3x-2} \), если \( x_0 = 1 \).

   Производная экспоненты: \( 3e^{3x-2} \).

   Подставляем \( x_0 = 1 \).

   Ответ: \( 3e \)

3. Записать уравнение касательной к графику функции \( f(x) = \frac{x^3 + 3x}{x} \) в точке \( x_0 = 1 \).

   Упростим сначала функцию: \( f(x) = x^2 + 3 \).

   Найдем производную: \( f'(x) = 2x \).

   Подставим \( x_0 = 1 \): \( f'(1) = 2 \).

   Уравнение касательной: \( y - 4 = 2(x - 1) \).

   Ответ: \( y = 2x + 2 \)

4. Найти значения x, при которых значения производной функции \( g(x) = 6x - x^3 \) положительны.

   Производная: \( g'(x) = 6 - 3x^2 \).

   Неравенство: \( 6 - 3x^2 > 0 \).

   Решаем: \( x^2 < 2 \).

   Ответ: \( -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \)

5. Найти точки графика функции \( f(x) = \frac{4}{x} \), в которых касательная к нему параллельна прямой \( y = -8x + 32 \).

   Наклон касательной: -8.

   Найдем производную \( f(x) = \frac{4}{x} \): \( f'(x) = -\frac{4}{x^2} \).

   Решаем уравнение для нахождения \( x \).

   Ответ: \( x = \pm1/2 \)

Пиши, если что-то неясно или нужны пояснения!