x ^ 2 - 2x - 8 < 7|x - 8| решить неравенство
Чтобы решить неравенство \( x^2 - 2x - 8 < 7|x - 8| \), начнем с анализа обоих случаев, в зависимости от значения \( x \).
- Первые шаги: упростим неравенство.
Сначала упростим его. Перепишем неравенство: \[ x^2 - 2x - 8 - 7|x - 8| < 0. \]
Теперь нужно рассмотреть два случая для модуля \( |x - 8| \).
- Случай 1: \( x - 8 \geq 0 \) (то есть \( x \geq 8 \)).
При этом \( |x - 8| = x - 8 \). Подставляем в неравенство: \[ x^2 - 2x - 8 - 7(x - 8) < 0. \] Упрощаем: \[ x^2 - 2x - 8 - 7x + 56 < 0, \] \[ x^2 - 9x + 48 < 0. \]
Теперь найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 9x + 48 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 81 - 192 = -111. \] Поскольку дискриминант отрицательный, это уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, для \( x \geq 8 \) данное неравенство всегда выполняется.
- Случай 2: \( x - 8 < 0 \) (то есть \( x < 8 \)).
При этом \( |x - 8| = -(x - 8) = 8 - x \). Подставляем в неравенство: \[ x^2 - 2x - 8 - 7(8 - x) < 0. \] Упрощаем: \[ x^2 - 2x - 8 - 56 + 7x < 0, \] \[ x^2 + 5x - 64 < 0. \]
Теперь найдем корни квадратного уравнения \( x^2 + 5x - 64 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 25 + 256 = 281. \] Теперь находим корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{281}}{2}. \]
Обозначим корни как \( x_1 \) и \( x_2 \) (где \( x_1 < x_2 \)): \[ x_1 = \frac{-5 - \sqrt{281}}{2}, \quad x_2 = \frac{-5 + \sqrt{281}}{2}. \]
- Определим промежутки.
Неравенство \( x^2 + 5x - 64 < 0 \) будет выполняться между корнями: \[ \frac{-5 - \sqrt{281}}{2} < x < \frac{-5 + \sqrt{281}}{2}. \]
Таким образом, объединяя оба случая, получаем решение неравенства: \[ x \in \left(\frac{-5 - \sqrt{281}}{2}, \frac{-5 + \sqrt{281}}{2}\right) \cup [8, +\infty). \]
Это и есть окончательный ответ. Если есть дополнительные вопросы или нужно уточнить детали, смело спрашивайте!
