(4x)/(x ^ 2 - 6x + 5) + 3/(x - 1) > 2/(x - 5) решить неравенство

Чтобы решить неравенство

\[ \frac{4x}{x^2 - 6x + 5} + \frac{3}{x - 1} > \frac{2}{x - 5}, \]

начнем с анализа выражений в неравенстве.

Шаг 1: Приведение к общему знаменателю

Первым делом, упростим выражение слева. Давайте разложим знаменатель \(x^2 - 6x + 5\):

\[ x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5). \]

Таким образом, можно переписать неравенство как:

\[ \frac{4x}{(x - 1)(x - 5)} + \frac{3}{x - 1} > \frac{2}{x - 5}. \]

Теперь найдем общий знаменатель для левой части. Общий знаменатель будет \((x - 1)(x - 5)\). Приведем все дроби к этому знаменателю:

\[ \frac{4x}{(x - 1)(x - 5)} + \frac{3(x - 5)}{(x - 1)(x - 5)} > \frac{2(x - 1)}{(x - 5)(x - 1)}. \]

Теперь объединяем дроби на левой стороне:

\[ \frac{4x + 3(x - 5)}{(x - 1)(x - 5)} > \frac{2(x - 1)}{(x - 5)(x - 1)}. \]

Шаг 2: Упрощение числителей

Упростим числитель:

\[ 4x + 3x - 15 = 7x - 15. \]

Теперь неравенство можно записать как:

\[ \frac{7x - 15}{(x - 1)(x - 5)} > \frac{2(x - 1)}{(x - 5)(x - 1)}. \]

При сокращении одинаковых знаменателей (при условии, что \(x \neq 1\) и \(x \neq 5\)) получаем:

\[ 7x - 15 > 2(x - 1). \]

Шаг 3: Решение неравенства

Раскроем скобки на правой стороне:

\[ 7x - 15 > 2x - 2. \]

Теперь перенесём \(2x\) и \(-15\) на одну сторону:

\[ 7x - 2x > -2 + 15, \] \[ 5x > 13. \]

Делим обе стороны на 5:

\[ x > \frac{13}{5}. \]

Шаг 4: Определение области допустимых значений

Необходимо также учесть, где выражения не определены. Мы знаем, что:

• \(x - 1 \neq 0\) ⇒ \(x \neq 1\)
• \(x - 5 \neq 0\) ⇒ \(x \neq 5\)

Таким образом, \(x\) должен быть больше \( \frac{13}{5} \) и не равным 1 или 5.

Шаг 5: Итоговая запись решения

Поскольку \( \frac{13}{5} \) (что равно 2.6) больше 1 и меньше 5, конечный ответ будет:

\[ x > \frac{13}{5}, \quad x \neq 5. \]

Таким образом, решение неравенства:

\[ x \in \left(\frac{13}{5}, 5\right) \cup (5, +\infty). \]