Окружность с центром в точке  O O поделена точками  A A и  B B на две дуги. На окружности выбирают случайную точку. Найди вероятность того, что эта точка окажется на меньшей из дуг.

Рассмотрим окружность, которую делят на две дуги в точках \( A \) и \( B \). Допустим, что точка \( A \) и точка \( B \) делят окружность на две дуги: меньшую и большую.

Предположим, что длина меньшей дуги равна \( d \) и длина большей дуги равна \( D \). Поскольку окружность замкнута, то:

\[ d + D = C \]

где \( C \) — длина всей окружности.

Вероятность того, что случайно выбранная точка на окружности окажется на меньшей из дуг (дуга длины \( d \)) равна отношению длины меньшей дуги к общей длине окружности:

\[ P = \frac{d}{C} \]

Поскольку длина всей окружности — это сумма длин двух дуг, то вероятность может быть выражена как:

\[ P = \frac{d}{d + D} \]

Теперь, чтобы найти \( P \), нам нужно учесть, что меньшая дуга может быть любой из двух, в зависимости от выбора точек \( A \) и \( B \). В любом случае, одна из дуг будет меньшей.

Таким образом, если мы обозначим длину меньшей дуги через \( d \), то

\[ P = \frac{1}{2} \]

Вероятность того, что случайно выбранная точка окажется на меньшей из дуг, равна \( \frac{1}{2} \).