Y⁴-24y²-25=0

Давайте разберем уравнение \( y^4 - 24y^2 - 25 = 0 \).

Первым шагом будет замена переменной, чтобы упростить уравнение. Обозначим \( x = y^2 \). Тогда уравнение преобразуется в:

\[ x^2 - 24x - 25 = 0. \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]

где \( a = 1 \), \( b = -24 \), \( c = -25 \). Подставим эти значения в формулу:

\[ x = \frac{24 \pm \sqrt{(-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25)}}{2 \cdot 1}. \]

Сначала найдем дискриминант:

\[ D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676. \]

Теперь найдем корень из дискриминанта:

\[ \sqrt{676} = 26. \]

Теперь подставим это значение обратно в формулу для \( x \):

\[ x = \frac{24 \pm 26}{2}. \]

Это дает нам два решения:

1. \( x_1 = \frac{24 + 26}{2} = \frac{50}{2} = 25, \)
2. \( x_2 = \frac{24 - 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1. \)

Теперь помним, что \( x = y^2 \). Начнем с первого решения:

1. Если \( x_1 = 25 \), тогда \( y^2 = 25 \), что дает \( y = 5 \) или \( y = -5 \).

2. Если \( x_2 = -1 \), такое значение для \( y^2 \) не имеет смысла в рамках действительных чисел, потому что квадрат числа не может быть отрицательным.

Таким образом, у нас есть два действительных решения:

\[ y = 5 \quad \text{и} \quad y = -5. \]

Если есть дополнительные вопросы или нужно больше пояснений, не стесняйтесь просить!