Алгебра 8 класс макарычев номер 595 выясните, имеет ли уравнение корни, и если имеет,то каковы их знаки: а) х²-18х+17=0; б) х²-2х-1=0; в) х²-15х+56=0; г) 5х²-х-108=0; д) х²-√5х+1=0; е) √3х²-12х-7√3=0.

Давайте разберемся с предложенными вами уравнениями и выясним, имеют ли они корни, а если имеют, то каковы их знаки. Для этого мы можем использовать дискриминант (D). Дискриминант для квадратного уравнения вида \( ax^2 + bx + c = 0 \) определяется по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac \]

Если \( D > 0 \), уравнение имеет два разных корня; если \( D = 0 \), уравнение имеет один двойной корень; если \( D < 0 \), уравнение корней не имеет.

Теперь рассмотрим каждое уравнение.

а) \( x^2 - 18x + 17 = 0 \)

• \( a = 1, b = -18, c = 17 \)
• \( D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 17 = 324 - 68 = 256 \) (D > 0)

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня. Теперь найдем их:

\[ x_1 = \frac{18 + \sqrt{256}}{2} = \frac{18 + 16}{2} = 17 \] \[ x_2 = \frac{18 - \sqrt{256}}{2} = \frac{18 - 16}{2} = 1 \]

Оба корня положительные: \( x_1 = 17 \) и \( x_2 = 1 \).

б) \( x^2 - 2x - 1 = 0 \)

• \( a = 1, b = -2, c = -1 \)
• \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8 \) (D > 0)

Уравнение также имеет два различных корня. Найдем их:

\[ x_1 = \frac{2 + \sqrt{8}}{2} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{2} = 1 + \sqrt{2} \] \[ x_2 = \frac{2 - \sqrt{8}}{2} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{2} = 1 - \sqrt{2} \]

Корень \( x_1 = 1 + \sqrt{2} \) положителен, а \( x_2 = 1 - \sqrt{2} \) отрицателен.

в) \( x^2 - 15x + 56 = 0 \)

• \( a = 1, b = -15, c = 56 \)
• \( D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1 \) (D = 0)

Уравнение имеет один двойной корень:

\[ x = \frac{15}{2} = 7.5 \]

Корень положительный.

г) \( 5x^2 - x - 108 = 0 \)

• \( a = 5, b = -1, c = -108 \)
• \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-108) = 1 + 2160 = 2161 \) (D > 0)

Уравнение имеет два различных корня:

\[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{2161}}{10}, \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{2161}}{10} \]

Корень \( x_1 \) положителен, а \( x_2 \) отрицателен (поскольку \( \sqrt{2161} > 1 \)).

д) \( x^2 - \sqrt{5}x + 1 = 0 \)

• \( a = 1, b = -\sqrt{5}, c = 1 \)
• \( D = (-\sqrt{5})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5 - 4 = 1 \) (D > 0)

Уравнение имеет два различных корня:

\[ x_1 = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}, \quad x_2 = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \]

Корень \( x_1 \) положителен, а \( x_2 \) положителен, потому что \( \sqrt{5} > 1 \).

е) \( \sqrt{3}x^2 - 12x - 7\sqrt{3} = 0 \)

• \( a = \sqrt{3}, b = -12, c = -7\sqrt{3} \)
• \( D = (-12)^2 - 4 \cdot \sqrt{3} \cdot (-7\sqrt{3}) = 144 + 84 = 228 \) (D > 0)

Уравнение также имеет два различных корня:

\[ x_1 = \frac{12 + \sqrt{228}}{2\sqrt{3}}, \quad x_2 = \frac{12 - \sqrt{228}}{2\sqrt{3}} \]

Первый корень \( x_1 \) положителен, а второй корень \( x_2 \) отрицателен.

Таким образом, для всех уравнений мы определили, имеют ли они корни и каковы знаки этих корней. Если у вас есть еще вопросы или нужны дополнительные объяснения, с радостью помогу!