С высоты 10 метров над землёй вертикально вверх брошен камень со скоростью 5 м/с. Определите путь, пройденный камнем до соприкосновения с землёй.
Чтобы решить задачу о движении камня, брошенного вертикально вверх с высоты 10 метров, давайте используем законы кинематики.
Начальные данные:
- Высота броска (h₀) = 10 метров
- Начальная скорость (v₀) = 5 м/с
- Ускорение свободного падения (g) = 9,8 м/с² (берём со знаком плюс, так как оно направлено вниз).
Уравнение движения: Мы можем использовать уравнение движения для высоты: \[ h(t) = h₀ + v₀ \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot t^2 \] Для определения момента времени, когда камень достигнет земли, нам нужно найти t, когда h(t) = 0.
Подставим значения: \[ 0 = 10 + 5t - \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot t^2 \] Это упрощается до: \[ 0 = 10 + 5t - 4,9t^2 \] Перепишем уравнение в стандартной форме: \[ 4,9t^2 - 5t - 10 = 0 \]
Решим квадратичное уравнение: Для решения используем дискриминант D: \[ D = b^2 - 4ac \] Здесь \( a = 4,9 \), \( b = -5 \), \( c = -10 \): \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 4,9 \cdot (-10) = 25 + 196 = 221 \]
Найдем корни уравнения по формуле: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем значения: \[ t = \frac{5 \pm \sqrt{221}}{2 \cdot 4,9} \] Вычисляем \(\sqrt{221} \approx 14,87\): \[ t = \frac{5 \pm 14,87}{9,8} \]
Берём положительное значение: \[ t \approx \frac{19,87}{9,8} \approx 2,02 \text{ секунды} \]
Определим путь, пройденный камнем: Мы знаем, что камень сначала поднимется, а потом упадет. Сначала найдем максимальную высоту, на которую поднимется камень, используя формулу: \[ v^2 = v₀^2 - 2g(h - h₀) \] Где v = 0 (в конечный момент): \[ 0 = 5^2 - 2 \cdot 9,8 \cdot (h - 10) \] \[ 25 = 19.6(h - 10) \] \[ h - 10 = \frac{25}{19.6} \approx 1,28 \] \[ h \approx 11,28 \text{ метров} \]
Теперь найдём общий путь:
- Подъём: 1,28 метров.
- Спуск: 11,28 метров (путь от максимальной высоты до земли).
- Общий путь = путь вверх + путь вниз = 1,28 + 11,28 = 12,56 метров.
Таким образом, камень пройдет путь примерно 12,56 метров до соприкосновения с землёй.
