Две стороны треугольника равны 10 см и 14 см, а угол между ними – 30°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.
Чтобы найти третью сторону треугольника и его площадь, начнем с известной информации: две стороны треугольника равны 10 см и 14 см, а угол между ними равен 30°.
Находим третью сторону по теореме косинусов
Согласно теореме косинусов, третья сторона \( c \) можно найти с помощью формулы:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) \]
где:
- \( a = 10 \) см,
- \( b = 14 \) см,
- \( \gamma = 30° \),
- \( \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Теперь подставим значения в формулу:
\[ c^2 = 10^2 + 14^2 - 2 \cdot 10 \cdot 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Расчитаем:
\[ c^2 = 100 + 196 - 140\sqrt{3} \]
\[ c^2 = 296 - 140\sqrt{3} \]
Теперь вычислим \( c \), но сначала нахму значение \( 140\sqrt{3} \) для получения числа. Приблизительно \( \sqrt{3} \approx 1.732 \):
\[ 140\sqrt{3} \approx 140 \cdot 1.732 \approx 242.48 \]
Теперь подставим это значение обратно:
\[ c^2 \approx 296 - 242.48 \approx 53.52 \]
Следовательно,
\[ c \approx \sqrt{53.52} \approx 7.32 \text{ см} \]
Находим площадь треугольника
Чтобы найти площадь треугольника, используем формулу:
\[ S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin(\gamma) \]
где:
- \( a = 10 \) см,
- \( b = 14 \) см,
- \( \sin(30°) = \frac{1}{2} \).
Подставим значения:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 14 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot 70 = 35 \text{ см}^2 \]
Ответ
Итак, третья сторона треугольника приблизительно равна 7.32 см, а площадь треугольника составляет 35 см².
