Решите неравенство: 1) 2x ^ 2 - 7x + 5 < 0 2) x ^ 2 + 9x >= 0 3) x ^ 2 - x - 12 > 0 2. Решите неравенство методом интервалов: 1) (x + 14)(x - 8) >= 0 ; 2) (x - 5.4)/(x + 1) < 0

Конечно! Давайте решим ваши неравенства по порядку.

1. Решим неравенство:

1) \( 2x^2 - 7x + 5 < 0 \)

Сначала найдем корни квадратного уравнения \( 2x^2 - 7x + 5 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9 \]

Корни находятся по формуле:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Заменяем \(a\), \(b\), и \(D\):

\[ x_1 = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = 2.5, \quad x_2 = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]

Теперь у нас есть корни \( x_1 = 2.5 \) и \( x_2 = 1 \).

Чтобы определить интервалы, в которых неравенство выполняется, рассмотрим знаки в интервалах \( (-\infty, 1) \), \( (1, 2.5) \) и \( (2.5, +\infty) \):

• Выберем точку \( x = 0 \) из интервала \( (-\infty, 1) \): \( 2(0)^2 - 7(0) + 5 = 5 > 0 \)

• Выберем точку \( x = 2 \) из интервала \( (1, 2.5) \): \( 2(2)^2 - 7(2) + 5 = 8 - 14 + 5 = -1 < 0 \)

• Выберем точку \( x = 3 \) из интервала \( (2.5, +\infty) \): \( 2(3)^2 - 7(3) + 5 = 18 - 21 + 5 = 2 > 0 \)

Неравенство \( 2x^2 - 7x + 5 < 0 \) выполняется в интервале \( (1, 2.5) \).

Ответ: \( x \in (1, 2.5) \)

2) \( x^2 + 9x \geq 0 \)

Сначала найдем корни уравнения \( x^2 + 9x = 0 \):

\[ x(x + 9) = 0 \]

Корни: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -9 \).

Теперь определим знаки в интервалах \( (-\infty, -9) \), \( (-9, 0) \), и \( (0, +\infty) \):

• Выберем точку \( x = -10 \) из интервала \( (-\infty, -9) \): \( (-10)^2 + 9(-10) = 100 - 90 = 10 \geq 0 \)

• Выберем точку \( x = -5 \) из интервала \( (-9, 0) \): \( (-5)^2 + 9(-5) = 25 - 45 = -20 < 0 \)

• Выберем точку \( x = 1 \) из интервала \( (0, +\infty) \): \( (1)^2 + 9(1) = 1 + 9 = 10 \geq 0 \)

Неравенство \( x^2 + 9x \geq 0 \) выполняется в интервалах \( (-\infty, -9] \) и \( [0, +\infty) \).

Ответ: \( x \in (-\infty, -9] \cup [0, +\infty) \)

2. Решите неравенство методом интервалов:

1) \( (x + 14)(x - 8) \geq 0 \)

Находим корни: \( x + 14 = 0 \) и \( x - 8 = 0 \) => \( x_1 = -14, x_2 = 8 \).

Теперь определим знаки на интервалах: \( (-\infty, -14) \), \( (-14, 8) \), \( (8, +\infty) \):

• Выберем \( x = -15 \): \( (-15 + 14)(-15 - 8) = (-1)(-23) = 23 \geq 0 \)

• Выберем \( x = 0 \): \( (0 + 14)(0 - 8) = (14)(-8) = -112 < 0 \)

• Выберем \( x = 9 \): \( (9 + 14)(9 - 8) = (23)(1) = 23 \geq 0 \)

Таким образом, неравенство выполняется в интервалах \( (-\infty, -14] \) и \( [8, +\infty) \).

Ответ: \( x \in (-\infty, -14] \cup [8, +\infty) \)

2) \( \frac{x - 5.4}{x + 1} < 0 \)

Находим нули числителя и знаменателя:

\( x - 5.4 = 0 \Rightarrow x = 5.4 \); \ \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \).

Определяем интервалы: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 5.4) \), \( (5.4, +\infty) \):

• Выберем \( x = -2 \): \( \frac{-2 - 5.4}{-2 + 1} = \frac{-7.4}{-1} = 7.4 > 0 \)

• Выберем \( x = 0 \): \( \frac{0 - 5.4}{0 + 1} = \frac{-5.4}{1} = -5.4 < 0 \)

• Выберем \( x = 6 \): \( \frac{6 - 5.4}{6 + 1} = \frac{0.6}{7} > 0 \)

Неравенство выполняется в интервале \( (-1, 5.4) \).

Ответ: \( x \in (-1, 5.4) \)

Если у вас возникли дополнительные вопросы или нужны разъяснения по этим задачам, пожалуйста, дайте знать!