В каждом предложении неопределённая форма глагола выполняет определённую синтаксическую роль. Рассмотрим каждое из предложений:
Я начал разыскивать потерянную книгу.
Неопределённая форма глагола "разыскивать" выступает в роли дополнения (что начал делать? – разыскивать).С утра мы решили заняться делом.
Неопределённая форма глагола "заняться" выступает в роли дополнения (что решили сделать? – заняться).Врач запретил мне читать лёжа.
Неопределённая форма глагола "читать" выступает в роли дополнения (что запретил? – читать).Мать велела сыну поставить чайник.
Неопределённая форма глагола "поставить" выступает в роли дополнения (что велела сделать? – поставить).Я не стану описывать моё состояние.
Неопределённая форма глагола "описать" выступает в роли дополнения (что не стану делать? – описывать).Наташа просила проводить её.
Неопределённая форма глагола "проводить" выступает в роли дополнения (что просила сделать? – проводить).У Мити выработалась нехорошая привычка читать по ночам.
Неопределённая форма глагола "читать" выступает в роли сказуемого в составном именном сказуемом (какая привычка? – читать).
Таким образом, в предложениях 1-6 неопределённые формы глаголов выполняют функцию дополнения, а в предложении 7 – функцию сказуемого.