Определите точку на прямой, соединяющей Землю и Луну, в которой равнодействующая сил притяжения Земли и Луны равна нулю. Расстояние между центрами Земли и Луны равно 60 земным…

Для определения точки на прямой, соединяющей Землю и Луну, в которой равнодействующая сила притяжения Земли и Луны равна нулю, воспользуемся законом всемирного тяготения.

Обозначим:

• \( M_E \) – масса Земли,
• \( M_L \) – масса Луны (\( M_L = \frac{M_E}{81} \)),
• \( R \) – расстояние между центрами Земли и Луны (60 радиусов Земли).

Сначала найдем расстояние \( d \) от Земли до точки, где равнодействующая сила притяжения равна нулю. Оставшееся расстояние от этой точки до Луны будет \( R - d \).

Сила притяжения Земли в точке, находящейся на расстоянии \( d \), можно выразить как: \[ F_E = \frac{G M_E}{d^2} \]

Сила притяжения Луны в этой же точке составляет: \[ F_L = \frac{G M_L}{(R - d)^2} \]

Для нахождения равновесия этих сил установим равенство: \[ \frac{G M_E}{d^2} = \frac{G M_L}{(R - d)^2} \]

Упрощая это уравнение, мы можем сократить \( G \): \[ \frac{M_E}{d^2} = \frac{M_L}{(R - d)^2} \]

Подставим значения \( M_L \) и \( R \): \[ \frac{M_E}{d^2} = \frac{M_E/81}{(60R - d)^2} \]

Сокращаем \( M_E \) и получаем: \[ \frac{1}{d^2} = \frac{1/81}{(60R - d)^2} \]

Переписываем уравнение: \[ 81(60R - d)^2 = d^2 \]

Распишем скобки: \[ 81(3600R^2 - 120dR + d^2) = d^2 \]

Соберем все термины в одно уравнение: \[ 81 \times 3600R^2 - 9720dR + 80d^2 = 0 \]

Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения: \[ d = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В нашем случае:

• \( a = 80 \)
• \( b = -9720R \)
• \( c = 81 \times 3600R^2 \)

Вставим значения в формулу и решим уравнение, чтобы найти значение \( d \).

После решения мы получим расстояние \( d \), где равнодействующая сила притяжения между Землёй и Луной будет равна нулю.