Найти площадь S-? y2=4x x2=4y

Чтобы найти площадь \( S \) области, ограниченной кривыми \( y^2 = 4x \) и \( x^2 = 4y \), нужно сначала определить, где эти кривые пересекаются, а затем использовать интегрирование для нахождения площади.

1. Поиск точек пересечения: У нас есть две кривые:

   • Парабола \( y^2 = 4x \) (открыта вправо).
   • Парабола \( x^2 = 4y \) (открыта вверх).

   Для нахождения точек пересечения, выразим \( x \) через \( y \) и наоборот.

   Из уравнения \( y^2 = 4x \) можно выразить \( x \): \[ x = \frac{y^2}{4} \]

   Теперь подставим это \( x \) в уравнение \( x^2 = 4y \): \[ \left(\frac{y^2}{4}\right)^2 = 4y \] \[ \frac{y^4}{16} = 4y \] Умножим обе стороны на 16: \[ y^4 = 64y \] Приведем уравнение к стандартному виду: \[ y^4 - 64y = 0 \] Факторизуем: \[ y(y^3 - 64) = 0 \] Это дает нам корень \( y = 0 \) и \( y^3 - 64 = 0 \) (что означает \( y = 4 \)).

   Таким образом, точки пересечения:

   • \( y = 0 \) → \( x = 0 \) (точка (0, 0)).
   • \( y = 4 \) → \( x = 4 \) (точка (4, 4)).

2. Определение площади: Площадь области между кривыми можно найти, интегрируя разность верхней и нижней функций от \( y = 0 \) до \( y = 4 \).

   Для этой области кривая \( y^2 = 4x \) отвечает за \( x \) в виде \( x = \frac{y^2}{4} \), а кривая \( x^2 = 4y \) отвечает за \( y \), что соответствует \( y = \frac{x^2}{4} \) или \( x = 2\sqrt{y} \), следовательно, в терминах \( y \): \[ x_{\text{верх}} = 2\sqrt{y} \] \[ x_{\text{низ}} = \frac{y^2}{4} \]

   Площадь \( S \): \[ S = \int_0^4 \left( 2\sqrt{y} - \frac{y^2}{4} \right) dy \]

   Теперь вычислим интеграл: \[ S = \int_0^4 2\sqrt{y} \, dy - \int_0^4 \frac{y^2}{4} \, dy \]

   Вычислим каждый из интегралов отдельно.

   Первый интеграл: \[ \int 2\sqrt{y} \, dy = \frac{2}{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3} y^{\frac{3}{2}} \Big|_0^4 = \frac{4}{3} \cdot (4)^{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3} \cdot 8 = \frac{32}{3} \]

   Второй интеграл: \[ \int \frac{y^2}{4} \, dy = \frac{1}{4} \cdot \frac{y^3}{3} = \frac{y^3}{12} \Big|_0^4 = \frac{(4)^3}{12} = \frac{64}{12} = \frac{16}{3} \]

   Таким образом, возвращаемся к вычислению площади: \[ S = \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3} \]

   Ответ: Площадь \( S = \frac{16}{3} \).