Докажите, что для любых натуральных п: а) 13 ^ n + 5 делится на 3; в) n ^ 3 + 5n делится на 6; 6) 7 ^ n + 5 делится на 6; г) 2n ^ 3 - 3n ^ 2 + n делится на 6.
Давайте поочередно разберем каждое из поставленных условий, используя метод математической индукции или простые вычисления.
а) Доказать, что \(13^n + 5\) делится на 3.
Рассмотрим \(13^n\) по модулю 3. Заметим, что \(13 \equiv 1 \mod 3\). Это означает, что:
\[ 13^n \equiv 1^n \equiv 1 \mod 3. \]
Теперь добавим 5:
\[ 13^n + 5 \equiv 1 + 5 \equiv 6 \equiv 0 \mod 3. \]
Таким образом, \(13^n + 5\) делится на 3 для любого натурального \(n\).
б) Доказать, что \(n^3 + 5n\) делится на 6.
Рассмотрим выражение \(n^3 + 5n\). Мы можем преобразовать его:
\[ n^3 + 5n = n(n^2 + 5). \]
Теперь необходимо проверить, делится ли этот результат на 6. Для этого нужно, чтобы выражение делилось на 2 и 3.
Деление на 2:
- Если \(n\) четное, то \(n \equiv 0 \mod 2\).
- Если \(n\) нечетное, то \(n \equiv 1 \mod 2\), и \(n^2 \equiv 1 \mod 2\), следовательно, \(n^2 + 5 \equiv 1 + 1 \equiv 0 \mod 2\). Значит, делится на 2 в обоих случаях.
Деление на 3: Проверяем \(n\) по модулю 3:
- Если \(n \equiv 0 \mod 3\), то \(n^3 + 5n \equiv 0 \mod 3\).
- Если \(n \equiv 1 \mod 3\), то \(n^3 + 5n \equiv 1 + 5 \equiv 0 \mod 3\).
- Если \(n \equiv 2 \mod 3\), то \(n^3 + 5n \equiv 2^3 + 5\cdot2 \equiv 8 + 10 \equiv 18 \equiv 0 \mod 3\).
Поскольку произведение делится на 2 и 3, значит \(n^3 + 5n\) делится на 6 для любого натурального \(n\).
в) Доказать, что \(7^n + 5\) делится на 6.
Сначала проверим \(7^n\) по модулю 6. Заметим, что \(7 \equiv 1 \mod 6\), тогда:
\[ 7^n \equiv 1^n \equiv 1 \mod 6. \]
Теперь добавляем 5:
\[ 7^n + 5 \equiv 1 + 5 \equiv 6 \equiv 0 \mod 6. \]
Таким образом, \(7^n + 5\) делится на 6 для любого натурального \(n\).
г) Доказать, что \(2n^3 - 3n^2 + n\) делится на 6.
Рассмотрим \(2n^3 - 3n^2 + n\). Мы проверяем делимость на 2 и 3.
Деление на 2:
- Если \(n\) четное, \(n \equiv 0 \mod 2\): \(2n^3, -3n^2, n\) все делятся на 2, значит выражение тоже делится на 2.
- Если \(n\) нечетное, \(n \equiv 1 \mod 2\): \(2n^3 - 3n^2 + n \equiv 2 - 3 + 1 \equiv 0 \mod 2\).
Деление на 3: Проверяем \(n\) по модулю 3:
- Если \(n \equiv 0 \mod 3\), то \(2n^3 - 3n^2 + n \equiv 0 \mod 3\).
- Если \(n \equiv 1 \mod 3\), то \(2(1^3) - 3(1^2) + 1 \equiv 2 - 3 + 1 \equiv 0 \mod 3\).
- Если \(n \equiv 2 \mod 3\), мы имеем \(2(2^3) - 3(2^2) + 2 \equiv 16 - 12 + 2 \equiv 6 \equiv 0 \mod 3\).
Поскольку выражение делится на 2 и 3, то \(2n^3 - 3n^2 + n\) делится на 6 для любого натурального \(n\).
Таким образом, мы доказали, что все предложенные выражения делятся на 6 или 3 для любых натуральных \(n\). Если у вас будут дополнительные вопросы или нужно будет уточнить что-либо, не стесняйтесь спрашивать!
