Реши задачу икс деленое на минус три икс квадрат плюс десять икс минус восемь больше или равно нуля

Чтобы решить неравенство \( \frac{x}{-3x^2 + 10x - 8} \geq 0 \), начнем с изучения его условий.

1. Найдем нули числителя и знаменателя.

   • Числитель: \( x = 0 \).
   • Знаменатель: решим уравнение \( -3x^2 + 10x - 8 = 0 \). Используем дискриминант для получения корней: \[ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-8) = 100 - 96 = 4. \]
   • Корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + 2}{-6} = \frac{-8}{-6} = \frac{4}{3}, \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - 2}{-6} = \frac{-12}{-6} = 2. \]

2. Определим ключевые точки. Получаем:

   • \( x = 0 \), \( x = \frac{4}{3} \), \( x = 2 \).

3. Разделим числовую прямую на интервалы, основываясь на найденных точках:

   • \( (-\infty, 0) \)
   • \( (0, \frac{4}{3}) \)
   • \( \left(\frac{4}{3}, 2\right) \)
   • \( (2, +\infty) \)

4. Проверим знаки выражения в каждом интервале.

   • На интервале \( (-\infty, 0) \), например, \( x = -1 \): \[ \frac{-1}{-3(-1)^2 + 10(-1) - 8} = \frac{-1}{-3 - 10 - 8} = \frac{-1}{-21} > 0. \]
   • На интервале \( (0, \frac{4}{3}) \), например, \( x = 1 \): \[ \frac{1}{-3(1)^2 + 10(1) - 8} = \frac{1}{-3 + 10 - 8} = \frac{1}{-1} < 0. \]
   • На интервале \( \left(\frac{4}{3}, 2\right) \), например, \( x = \frac{5}{3} \): \[ \frac{\frac{5}{3}}{-3\left(\frac{5}{3}\right)^2 + 10\left(\frac{5}{3}\right) - 8}. \] Упростим: \[ -3 \cdot \frac{25}{9} + \frac{50}{3} - 8 = -\frac{75}{9} + \frac{150}{9} - \frac{72}{9} = \frac{3}{9} > 0. \]
   • На интервале \( (2, +\infty) \), например, \( x = 3 \): \[ \frac{3}{-3(3)^2 + 10(3) - 8} = \frac{3}{-27 + 30 - 8} = \frac{3}{-5} < 0. \]

5. Соберем вместе результаты по интервалам:

   • \( (-\infty, 0) \): \( > 0 \)
   • \( (0, \frac{4}{3}) \): \( < 0 \)
   • \( \left(\frac{4}{3}, 2\right) \): \( > 0 \)
   • \( (2, +\infty) \): \( < 0 \)

6. Найдем, где неравенство выполняется.

   • Положительные интервалы: \( (-\infty, 0) \) и \( \left(\frac{4}{3}, 2\right) \).
   • Включаем точки, где числитель равен нулю (где неравенство \(\geq\) выполняется), то есть \( x = 0 \).

7. Ответ: \[ x \in (-\infty, 0] \cup \left[\frac{4}{3}, 2\right). \]

Это решение неравенства. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!