Средняя линия прямоугольной трапеции равна 9 см, а высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки, один из которых в 2 раза больше другого, считая от вершины прямого угла. Найдите основания трапеции.

В работе с прямоугольной трапецией обозначим основания через \( a \) и \( b \) (где \( a \) — большее основание, \( b \) — меньшее). По условию средней линии:

\[ \frac{a + b}{2} = 9 \implies a + b = 18. \]

Также известно, что высота из тупого угла делит большее основание \( a \) на отрезки, один из которых в 2 раза больше другого. Обозначим меньший отрезок как \( x \), тогда больший отрезок будет \( 2x \). Сумма этих отрезков равна основанию \( a \):

\[ x + 2x = a \implies 3x = a \implies a = 3x. \]

Теперь подставим \( a \) в уравнение для средней линии:

\[ 3x + b = 18 \implies b = 18 - 3x. \]

Теперь у нас есть выражения для оснований \( a \) и \( b \):

\[ a = 3x, \] \[ b = 18 - 3x. \]

Находим значение \( a \) и \( b \) с учетом условия, что \( b \) должно быть положительным. Для этого:

\[ 18 - 3x > 0 \implies 18 > 3x \implies 6 > x. \]

Теперь рассмотрим минимально допустимое значение для \( x \). Поскольку \( a \) — большее основание, неконтролируемое значение \( x \) должно быть больше 0. Таким образом:

\[ 0 < x < 6. \]

Теперь подставляем значения для \( x \). Например, выберем \( x = 2 \):

\[ a = 3 \times 2 = 6, \] \[ b = 18 - 3 \times 2 = 12. \]

Проверим, удовлетворяет ли это условию средней линии:

\[ \frac{6 + 12}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ см}. \]

Таким образом, основания прямоугольной трапеции:

\[ a = 12 \text{ см} \quad (большее), \] \[ b = 6 \text{ см} \quad (меньшее). \]

Ответ: Основания трапеции равны 12 см и 6 см.