В трапеции ABCD основания AD=16, BC=6. На боковых сторонах AB и CD выбрали точки E и F соответственно так, что AE:BE=7:3 и EF||AD. Найдите длину отрезка EF.

Давайте обозначим высоту трапеции ABCD как h. Поскольку отрезок EF параллелен основанию AD и делит трапецию на две части, мы можем использовать теорему о пропорциях отрезков, которая гласит, что отрезки, параллельные основаниям трапеции, разделяют обе стороны пропорционально.

Зная, что AE:BE = 7:3, можно найти общее количество частей, на которые делится отрезок AB: \[ 7 + 3 = 10. \]

Теперь мы можем определить, какую часть составляет AE по сравнению с AB: \[ AE = \frac{7}{10} AB, \] \[ BE = \frac{3}{10} AB. \]

Так как EF параллелен основанию AD и разделяет трапецию на две части, длина отрезка EF будет также ровно пропорциональна длинам оснований AD и BC. Вычислим это следующим образом:

Используем формулу для длины отрезка EF в зависимости от оснований и высоты, которое делит трапецию: \[ EF = \frac{h_1}{h} \cdot AD + \frac{h_2}{h} \cdot BC, \] где \( h_1 \) и \( h_2 \) - это высоты выше и ниже отрезка EF соответственно. В нашем случае, чтобы гармонизировать эти пропорции, можно использовать соотношение оснований и определим \( h_1 \) и \( h_2 \) через высоту h: \[ h_1 = h \cdot \frac{7}{10}, \quad h_2 = h \cdot \frac{3}{10}. \]

Поскольку высоты делятся также пропорционально, можем применить формулу средней линии в трапеции: \[ EF = \frac{AD + BC}{2} \cdot \frac{h_1}{h}. \] Так как \( AD = 16 \) и \( BC = 6 \), то \[ EF = \frac{16 + 6}{2} \cdot \frac{7}{10} = \frac{22}{2} \cdot \frac{7}{10} = 11 \cdot \frac{7}{10} = \frac{77}{10} = 7.7. \]

Таким образом, длина отрезка EF: \[ \boxed{7.7}. \]