4x^2+4y^2+16x-32y-41=0 кривая второго порчтка

Уравнение, которое вы привели, является уравнением второй степени двух переменных и описывает коническую секцию. Давайте упростим его и узнаем, к какой именно конической секции оно относится.

Начнем с уравнения:

\[ 4x^2 + 4y^2 + 16x - 32y - 41 = 0. \]

Сначала упростим его, разделив все члены на 4:

\[ x^2 + y^2 + 4x - 8y - \frac{41}{4} = 0. \]

Теперь приведем уравнение к каноническому виду. Для этого сгруппируем и дополнительно выделим полный квадрат по x и y.

Для x:

Мы берем частичные суммы для \(x\):

\[ x^2 + 4x \rightarrow (x^2 + 4x + 4) - 4 = (x + 2)^2 - 4. \]

Для y:

Аналогично сделаем для \(y\):

\[ y^2 - 8y \rightarrow (y^2 - 8y + 16) - 16 = (y - 4)^2 - 16. \]

Теперь подставляем это все обратно в уравнение:

\[ (x + 2)^2 - 4 + (y - 4)^2 - 16 - \frac{41}{4} = 0. \]

Приведем подобные члены:

\[ (x + 2)^2 + (y - 4)^2 - 20 - \frac{41}{4} = 0. \]

Приведем 20 к четвёрке:

\[ 20 = \frac{80}{4} \rightarrow -20 - \frac{41}{4} = -\frac{80}{4} - \frac{41}{4} = -\frac{121}{4}. \]

Таким образом, у нас получается:

\[ (x + 2)^2 + (y - 4)^2 = \frac{121}{4}. \]

Теперь мы имеем уравнение в канонической форме окружности:

\[ (x + 2)^2 + (y - 4)^2 = r^2, \] где радиус \(r = \sqrt{\frac{121}{4}} = \frac{11}{2}\).

Таким образом, это уравнение описывает окружность с центром в точке \((-2, 4)\) и радиусом \(\frac{11}{2}\). Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как работать с уравнениями второго порядка!