Стрелок ведет стрельбу по цели с вероятностью попадания при каждом выстреле 0,2. За каждое попадание он получает 5 очков, а в случае промаха очков ему не начисляют. Составить закон распределения числа очков, полученных стрелком за 3 выстрела, и вычислить математическое ожидание этой случайной величины.

Question 1

Задача Задача №2184781

А

Аноним

11 ноября 2024 14:47 · публичный вопрос

А

Аноним 11 ноября 2024 14:47

Стрелок ведет стрельбу по цели с вероятностью попадания при каждом выстреле 0,2. За каждое попадание он получает 5 очков, а в случае промаха очков ему не начисляют. Составить закон распределения числа очков, полученных стрелком за 3 выстрела, и вычислить математическое ожидание этой случайной величины.

Answer

Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.

Стрелок делает 3 выстрела, и вероятность попадания в цель при каждом выстреле составляет 0,2, а вероятность промаха — 0,8. Мы можем использовать биномиальное распределение, так как каждый выстрел является независимым испытанием с двумя возможными исходами: попадание или промах.

1. Определение случайной величины:

Обозначим \(X\) — количество попаданий стрелка за 3 выстрела. Тогда \(X\) будет следовать биномиальному распределению:

\[ X \sim B(n, p) \]

где \(n = 3\) (число испытаний) и \(p = 0,2\) (вероятность успеха).

2. Возможные значения случайной величины и их вероятности:

Теперь мы можем определить значения \(X\) и соответствующие им вероятности:

\(X = 0\) (0 попаданий):
\[ P(X = 0) = C(3, 0) \cdot p^0 \cdot (1-p)^3 = 1 \cdot 1 \cdot (0,8^3) = 0,512 \]
\(X = 1\) (1 попадание):
\[ P(X = 1) = C(3, 1) \cdot p^1 \cdot (1-p)^2 = 3 \cdot 0,2 \cdot (0,8^2) = 3 \cdot 0,2 \cdot 0,64 = 0,384 \]
\(X = 2\) (2 попадания):
\[ P(X = 2) = C(3, 2) \cdot p^2 \cdot (1-p)^1 = 3 \cdot (0,2^2) \cdot 0,8 = 3 \cdot 0,04 \cdot 0,8 = 0,096 \]
\(X = 3\) (3 попадания):
\[ P(X = 3) = C(3, 3) \cdot p^3 \cdot (1-p)^0 = 1 \cdot (0,2^3) \cdot 1 = 0,008 \]

Теперь подведем итог по вероятностям:

\(P(X = 0) = 0,512\)
\(P(X = 1) = 0,384\)
\(P(X = 2) = 0,096\)
\(P(X = 3) = 0,008\)

3. Расчет количества очков:

Количество очков \(Y\), получаемое стрелком, зависит от числа попаданий:

Если \(X = 0\), то \(Y = 0\)
Если \(X = 1\), то \(Y = 5\)
Если \(X = 2\), то \(Y = 10\)
Если \(X = 3\), то \(Y = 15\)

Теперь найдем закон распределения случайной величины \(Y\):

\(P(Y = 0) = P(X = 0) = 0,512\)
\(P(Y = 5) = P(X = 1) = 0,384\)
\(P(Y = 10) = P(X = 2) = 0,096\)
\(P(Y = 15) = P(X = 3) = 0,008\)

4. Вычисление математического ожидания:

Теперь вычислим математическое ожидание случайной величины \(Y\):

\[ E(Y) = \sum (y_i \cdot P(Y = y_i)) \]

где \(y_i\) — возможные значения \(Y\):

\[ E(Y) = 0 \cdot 0,512 + 5 \cdot 0,384 + 10 \cdot 0,096 + 15 \cdot 0,008 \] \[ E(Y) = 0 + 1,92 + 0,96 + 0,12 = 3,00 \]

Таким образом, математическое ожидание очков, получаемых стрелком за 3 выстрела, составляет 3 очка.

Question 2

Стрелок ведет стрельбу по цели с вероятностью попадания при каждом выстреле 0,2. За каждое попадание он получает 5 очков, а в случае промаха очков ему не начисляют. Составить закон распределения числа очков, полученных стрелком за 3 выстрела, и вычислить математическое ожидание этой случайной величины.

Answer

Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом. Стрелок делает 3 выстрела, и вероятность попадания в цель при каждом выстреле составляет 0,2, а вероятность промаха — 0,8. Мы можем использовать биномиальное распределение, так как каждый выстрел является независимым испытанием с двумя возможными исходами: попадание или промах. **1. Определение случайной величины:** Обозначим \(X\) — количество попаданий стрелка за 3 выстрела. Тогда \(X\) будет следовать биномиальному распределению: \[ X \sim B(n, p) \] где \(n = 3\) (число испытаний) и \(p = 0,2\) (вероятность успеха). **2. Возможные значения случайной величины и их вероятности:** Теперь мы можем определить значения \(X\) и соответствующие им вероятности: - \(X = 0\) (0 попаданий): \[ P(X = 0) = C(3, 0) \cdot p^0 \cdot (1-p)^3 = 1 \cdot 1 \cdot (0,8^3) = 0,512 \] - \(X = 1\) (1 попадание): \[ P(X = 1) = C(3, 1) \cdot p^1 \cdot (1-p)^2 = 3 \cdot 0,2 \cdot (0,8^2) = 3 \cdot 0,2 \cdot 0,64 = 0,384 \] - \(X = 2\) (2 попадания): \[ P(X = 2) = C(3, 2) \cdot p^2 \cdot (1-p)^1 = 3 \cdot (0,2^2) \cdot 0,8 = 3 \cdot 0,04 \cdot 0,8 = 0,096 \] - \(X = 3\) (3 попадания): \[ P(X = 3) = C(3, 3) \cdot p^3 \cdot (1-p)^0 = 1 \cdot (0,2^3) \cdot 1 = 0,008 \] Теперь подведем итог по вероятностям: - \(P(X = 0) = 0,512\) - \(P(X = 1) = 0,384\) - \(P(X = 2) = 0,096\) - \(P(X = 3) = 0,008\) **3. Расчет количества очков:** Количество очков \(Y\), получаемое стрелком, зависит от числа попаданий: - Если \(X = 0\), то \(Y = 0\) - Если \(X = 1\), то \(Y = 5\) - Если \(X = 2\), то \(Y = 10\) - Если \(X = 3\), то \(Y = 15\) Теперь найдем закон распределения случайной величины \(Y\): - \(P(Y = 0) = P(X = 0) = 0,512\) - \(P(Y = 5) = P(X = 1) = 0,384\) - \(P(Y = 10) = P(X = 2) = 0,096\) - \(P(Y = 15) = P(X = 3) = 0,008\) **4. Вычисление математического ожидания:** Теперь вычислим математическое ожидание случайной величины \(Y\): \[ E(Y) = \sum (y_i \cdot P(Y = y_i)) \] где \(y_i\) — возможные значения \(Y\): \[ E(Y) = 0 \cdot 0,512 + 5 \cdot 0,384 + 10 \cdot 0,096 + 15 \cdot 0,008 \] \[ E(Y) = 0 + 1,92 + 0,96 + 0,12 = 3,00 \] Таким образом, математическое ожидание очков, получаемых стрелком за 3 выстрела, составляет 3 очка.