Спростіть (1+х+1/х)(1+х-1/х)

Чтобы упростить выражение \( (1 + x + \frac{1}{x})(1 + x - \frac{1}{x}) \), давайте используем распределительный закон (формулу умножения двух скобок).

1. Запишем оба множителя: \[ (1 + x + \frac{1}{x})(1 + x - \frac{1}{x}) \]

2. Раскроем скобки, перемножая каждый элемент из первой скобки на каждый элемент из второй: \[ = 1(1) + 1(x) + 1(-\frac{1}{x}) + x(1) + x(x) + x(-\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}(1) + \frac{1}{x}(x) + \frac{1}{x}(-\frac{1}{x}) \]

3. Упрощаем:

   • \( 1 \cdot 1 = 1 \)
   • \( 1 \cdot x = x \)
   • \( 1 \cdot -\frac{1}{x} = -\frac{1}{x} \)
   • \( x \cdot 1 = x \)
   • \( x \cdot x = x^2 \)
   • \( x \cdot -\frac{1}{x} = -1 \) (так как \( x \cdot \frac{1}{x} = 1 \))
   • \( \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{1}{x} \)
   • \( \frac{1}{x} \cdot x = 1 \)
   • \( \frac{1}{x} \cdot -\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2} \)

4. Теперь соберем все члены вместе: \[ = 1 + x + x - 1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} \]

5. Упростим:

   • \( 1 - 1 = 0 \)
   • \( x + x = 2x \)
   • \( -\frac{1}{x} + \frac{1}{x} = 0 \)

Таким образом, окончательно упрощаем: \[ = 2x - \frac{1}{x^2} \]

Итак, итоговое упрощенное выражение будет: \[ 2x - \frac{1}{x^2} \]