В трапеции ABCD с основаниями AD=18 и BC=12 найдите отрезки, на которые диагонали делят среднюю линию.

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC и средней линией, параллельной этим основаниям, длина которой равна полусумме оснований:

\[ MN = \frac{AD + BC}{2} = \frac{18 + 12}{2} = 15. \]

Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. По свойству трапеций, отрезки, на которые средняя линия делится диагоналями, могут быть найдены с помощью следующей формулы:

\[ \frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC}, \quad \text{и} \quad \frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD}. \]

Таким образом, если обозначить отрезки \( AO = x \) и \( OC = y \), то:

\[ \frac{x}{y} = \frac{AD}{BC} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}. \]

Это означает, что:

\[ x = \frac{3}{2}y. \]

Пусть \( y \) будет равно \( 2k \), тогда \( x = 3k \). Сумма отрезков \( AO \) и \( OC \) равна длине средней линии:

\[ x + y = 15, \]

то есть,

\[ 3k + 2k = 15, \]

отсюда \( 5k = 15 \) и \( k = 3 \). Теперь подставим значение \( k \):

\[ x = 3k = 3 \cdot 3 = 9, \quad y = 2k = 2 \cdot 3 = 6. \]

Таким образом, отрезки, на которые диагонали делят среднюю линию, равны:

\[ AO = 9 \quad \text{и} \quad OC = 6. \]