"Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой. "

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как a и b, а гипотенузу как c.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно выразить через его площадь. Площадь треугольника можно выразить двумя способами: через радиус окружности и через сумму катетов и гипотенузы.

Используя первый способ, площадь треугольника можно записать как S = r * p, где r - радиус вписанной окружности, p - полупериметр треугольника (p = (a + b + c) / 2).

Используя второй способ, площадь треугольника можно записать как S = (a * b) / 2.

Равенство этих двух выражений даёт нам уравнение:

r * p = (a * b) / 2.

Используя значение p = (a + b + c) / 2 и приводя уравнение к нужному виду, получаем:

r = (a + b - c) / 2.

Таким образом, радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой.