"Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой. "

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, касается каждой из сторон треугольника. Пусть a и b - катеты треугольника, а c - гипотенуза. Радиус окружности можно обозначить как r.

Так как окружность касается каждой стороны треугольника, то расстояние от центра окружности до каждой стороны равно радиусу r.

Расстояние от центра окружности до стороны, равной катету a, равно сумме длин катета a и разности радиуса r. Аналогично, расстояние от центра окружности до стороны, равной катету b, равно сумме длин катета b и разности радиуса r.

Таким образом, имеем следующие соотношения: a + r = b + r = c - r, a + r = c - r - (b + r), a + r = c - b - r, 2r = c - b - a, r = (c - a - b) / 2.

Таким образом, радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине разности между суммой катетов a и b, и гипотенузой c.