Докажите, что при любом натуральном n является целым числом значение выражения: б) (10^2n +8)/2 в)(10^n + 134)/18
Чтобы доказать, что указанные выражения являются целыми числами при любом натуральном \( n \), мы рассмотрим каждое из них по отдельности.
б) \(\frac{10^{2n} + 8}{2}\)
Рассмотрим числитель \( 10^{2n} + 8 \).
Число \( 10^{2n} \):
- Поскольку \( 10^{2n} = (10^2)^n = 100^n \), это всегда четное число, так как делится на 2.
Число \( 8 \):
- Это также четное число.
Сумма двух четных чисел \( 10^{2n} + 8 \) будет всегда четным, что означает, что оно делится на 2.
Теперь, делим на 2: \[ \frac{10^{2n} + 8}{2} \] Так как числитель четный, результат деления будет целым числом.
в) \(\frac{10^{n} + 134}{18}\)
Рассмотрим числитель \( 10^n + 134 \).
Число \( 10^n \):
- Поскольку \( 10^n \) всегда оканчивается на 0, оно четное.
Число \( 134 \):
- Это также четное число.
Сумма \( 10^n + 134 \) будет четным числом. Теперь нам нужно проверить, делится ли оно на 18.
Мы можем посмотреть на \( 10^n + 134 \) по модулю 18:
- Поскольку \( 10 \equiv 10 \mod 18 \), мы можем заметить, что \( 10^n \mod 18 \) будет циклически принимать значения \( 10, 10^2 \equiv 10 \mod 18 \), поэтому \( 10^n \equiv 10 \mod 18 \) для любого натурального \( n \).
Теперь мы вычислим \( 10^n + 134 \mod 18 \): \[ 10 + 134 \equiv 10 + 134 \mod 18 \equiv 10 + 134 \div 18 \equiv 10 + 148 \equiv 10 + 148 - 144 \equiv 10 + 4 \equiv 14 \mod 18 \]
Из этого видно, что необходимо проверить делимость на 18 более подробно. Однако, мы можем заметить, что \( 134 \mod 18 = 8 \), что вместе с \( 10 \) формирует: \[ 10 + 8 = 18 \equiv 0 \mod 18 \]
Таким образом, \( 10^n + 134 \) делится на 18 для любых натуральных \( n \).
В итоге, мы можем заключить, что:
- \(\frac{10^{2n} + 8}{2}\) — целое число.
- \(\frac{10^n + 134}{18}\) — также целое число для любого натурального \( n \).
Таким образом, оба выражения являются целыми числами при любом натуральном \( n \).
