В прямоугольнике ABCD на стороне AB выбрана точка P такая, что AP= (1/3)AB. На стороне CD выбрана точка Q, симметричная точке P относительно середины отрезка CD. Докажите, что площади треугольников APD и BCQ равны.

Question 1

Задача Задача №2185285

А

Аноним

11 ноября 2024 15:04 · публичный вопрос

А

Аноним 11 ноября 2024 15:04

В прямоугольнике ABCD на стороне AB выбрана точка P такая, что AP= (1/3)AB. На стороне CD выбрана точка Q, симметричная точке P относительно середины отрезка CD. Докажите, что площади треугольников APD и BCQ равны.

Answer

Давайте рассмотрим прямоугольник ABCD, где AB и CD — это две параллельные стороны. Пусть длина стороны AB равна \( a \), а длина стороны AD (или BC) равна \( b \).

Мы знаем, что точка P находится на стороне AB и делит её в отношении 1:3. Таким образом, расстояние AP составит \( \frac{1}{3}AB = \frac{a}{3} \), а расстояние PB будет \( \frac{2}{3}AB = \frac{2a}{3} \).
Теперь найдём координаты точки P. Если A(0, 0) и B(a, 0), то координаты точки P будут \( P\left(\frac{a}{3}, 0\right) \).
На стороне CD, которая параллельна AB и находится на расстоянии \( b \) выше, мы находим середину отрезка CD, которая будем иметь координаты M\left( \frac{a}{2}, b \right). Точка Q симметрична точке P относительно точки M. Чтобы найти координаты точки Q, мы используем формулу для симметрии:

\[ Q_x = M_x + (M_x - P_x) = \frac{a}{2} + \left(\frac{a}{2} - \frac{a}{3}\right) \]

Упростим выражение для координаты Q: \[ Q_x = \frac{a}{2} + \left(\frac{3a}{6} - \frac{2a}{6}\right) = \frac{a}{2} + \frac{a}{6} = \frac{3a + a}{6} = \frac{4a}{6} = \frac{2a}{3} \]

Тогда Q имеет координаты \( Q\left(\frac{2a}{3}, b\right) \).
Теперь находим площади треугольников APD и BCQ.

Площадь треугольника APD: \[ S_{APD} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высоту = \frac{1}{2} \cdot AP \cdot b = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{3} \cdot b = \frac{ab}{6} \]

Площадь треугольника BCQ: \[ S_{BCQ} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высоту = \frac{1}{2} \cdot BQ \cdot b \] Здесь BQ — это длина отрезка BQ: \[ BQ = B(Q_x, Q_y) = B\left(\frac{2a}{3}, b\right) - B(a, 0) = |Q_x - B_x| = |a - \frac{2a}{3}| = \frac{a}{3} \] Тогда площадь треугольника BCQ будет: \[ S_{BCQ} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{3} \cdot b = \frac{ab}{6} \]

Таким образом, мы видим, что площади треугольников APD и BCQ равны:

\[ S_{APD} = S_{BCQ} = \frac{ab}{6} \]

Следовательно, площади треугольников APD и BCQ равны, что и требовалось доказать.

Question 2

В прямоугольнике ABCD на стороне AB выбрана точка P такая, что AP= (1/3)AB. На стороне CD выбрана точка Q, симметричная точке P относительно середины отрезка CD. Докажите, что площади треугольников APD и BCQ равны.

Answer

Давайте рассмотрим прямоугольник ABCD, где AB и CD — это две параллельные стороны. Пусть длина стороны AB равна \( a \), а длина стороны AD (или BC) равна \( b \). 1. Мы знаем, что точка P находится на стороне AB и делит её в отношении 1:3. Таким образом, расстояние AP составит \( \frac{1}{3}AB = \frac{a}{3} \), а расстояние PB будет \( \frac{2}{3}AB = \frac{2a}{3} \). 2. Теперь найдём координаты точки P. Если A(0, 0) и B(a, 0), то координаты точки P будут \( P\left(\frac{a}{3}, 0\right) \). 3. На стороне CD, которая параллельна AB и находится на расстоянии \( b \) выше, мы находим середину отрезка CD, которая будем иметь координаты M\left( \frac{a}{2}, b \right). Точка Q симметрична точке P относительно точки M. Чтобы найти координаты точки Q, мы используем формулу для симметрии: \[ Q_x = M_x + (M_x - P_x) = \frac{a}{2} + \left(\frac{a}{2} - \frac{a}{3}\right) \] Упростим выражение для координаты Q: \[ Q_x = \frac{a}{2} + \left(\frac{3a}{6} - \frac{2a}{6}\right) = \frac{a}{2} + \frac{a}{6} = \frac{3a + a}{6} = \frac{4a}{6} = \frac{2a}{3} \] Тогда Q имеет координаты \( Q\left(\frac{2a}{3}, b\right) \). 4. Теперь находим площади треугольников APD и BCQ. **Площадь треугольника APD:** \[ S_{APD} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высоту = \frac{1}{2} \cdot AP \cdot b = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{3} \cdot b = \frac{ab}{6} \] **Площадь треугольника BCQ:** \[ S_{BCQ} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высоту = \frac{1}{2} \cdot BQ \cdot b \] Здесь BQ — это длина отрезка BQ: \[ BQ = B(Q_x, Q_y) = B\left(\frac{2a}{3}, b\right) - B(a, 0) = |Q_x - B_x| = |a - \frac{2a}{3}| = \frac{a}{3} \] Тогда площадь треугольника BCQ будет: \[ S_{BCQ} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{3} \cdot b = \frac{ab}{6} \] Таким образом, мы видим, что площади треугольников APD и BCQ равны: \[ S_{APD} = S_{BCQ} = \frac{ab}{6} \] Следовательно, площади треугольников APD и BCQ равны, что и требовалось доказать.