"Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой. "

Для доказательства данного утверждения можно воспользоваться теоремой Пифагора и формулой для площади треугольника. Пусть a и b - катеты, а c - гипотенуза прямоугольного треугольника.

Сначала рассмотрим площадь треугольника, вписанного в окружность радиусом r. Площадь такого треугольника можно выразить двумя способами: s = (1/2) a b и s = (1/2) c r.

Из теоремы Пифагора известно, что c^2 = a^2 + b^2. Подставим это выражение во второй вариант формулы для площади треугольника:

(1/2) c r = (1/2) (a^2 + b^2) r

Заменим площадь треугольника также на выражение через катеты:

(1/2) a b = (1/2) (a^2 + b^2) r

Раскроем скобки и сократим на (1/2):

a b = a^2 + b^2 - a^2 r - b^2 r

Сгруппируем члены:

a^2 r + b^2 r = a b - a^2 - b^2

Вынесем общий множитель слева:

r (a^2 + b^2) = a b - a^2 - b^2

Приведем подобные слагаемые справа:

r (a^2 + b^2) = a b - (a^2 + b^2)

Еще раз применим теорему Пифагора справа:

r (a^2 + b^2) = 2 a b - c^2

Выразим r:

r = (2 a b - c^2) / (a^2 + b^2)

Раскроем скобки:

r = 2 a b / (a^2 + b^2) - c^2 / (a^2 + b^2)

Заменим (a^2 + b^2) в знаменателе с помощью теоремы Пифагора:

r = 2 a b / (c^2) - c^2 / (c^2)

Упростим:

r = 2 a b / c^2 - 1

Приведем к общему знаменателю:

r = (2 a b - c^2) / c^2

У нас есть разность между суммой катетов и гипотенузой:

(2 a b - c^2) / c^2 = (a + b - c) / c

Таким образом, мы доказали, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен (a + b - c) / c.