На занятиях по ментальной арифметике учитель попросил Олегаскадыватьв уме последовательные натуральные числа, начинаяс 1. В некоторыймомент времени учитель остановил Олегаи полросил назвать результат. Олет назвалчисло 486, но результат оказался неверным, так как Олег дважды сложия однои тоже число. Определите, какое число Олет сложил дважды
Чтобы решить эту задачу, давайте сначала вспомним, как складываются последовательные натуральные числа, начиная с 1. Сумма первых \( n \) натуральных чисел может быть найдена по формуле:
\[ S = \frac{n(n + 1)}{2} \]
где \( S \) — сумма, а \( n \) — последнее добавленное число.
Пусть Олет сложил числа от 1 до \( n \) и при этом дважды сложил одно и то же число \( k \). Тогда результат, который он назвал, будет равен:
\[ S + k = \frac{n(n + 1)}{2} + k \]
По условию, он назвал 486:
\[ \frac{n(n + 1)}{2} + k = 486 \]
Теперь нам нужно выразить \( k \) через \( n \):
\[ k = 486 - \frac{n(n + 1)}{2} \]
Чтобы \( k \) было натуральным числом, выражение \( 486 - \frac{n(n + 1)}{2} \) должно быть положительным. Также \( k \) должно быть меньше или равно \( n \), так как он не может быть больше всех чисел, которые складываются.
Теперь давайте найдем подходящее значение для \( n \):
- Подберем \( n \), чтобы \( \frac{n(n + 1)}{2} \) было примерно равно 486.
- Начнем с нахождения \( n \) при котором \( \frac{n(n + 1)}{2} \) близко к 486.
Пробуя разные значения, мы можем найти:
- Для \( n = 31 \):
\[ \frac{31 \times 32}{2} = 496 \]
- Для \( n = 30 \):
\[ \frac{30 \times 31}{2} = 465 \]
Теперь, подставим значение \( n = 30 \):
\[ k = 486 - 465 = 21 \]
Теперь проверим, действительно ли Олет мог сложить 21 дважды:
- Сумма чисел от 1 до 30 составляет 465.
- Если добавить 21 дважды:
\[ 465 + 21 = 486 \]
Таким образом, Олет дважды сложил число 21.
