котлован под фундамент нового здания первый экскаватор может выкопать 8 дней, второй за 12 дней, а третий за 15 дней. какую часть котлована останется выкопать после того, как…

Чтобы решить эту задачу, сначала найдем, какую часть котлована каждый экскаватор может выкопать за один день, а затем мы определим, сколько они выкопают за указанное время.

1. Найдем производительность экскаваторов:

   • Первый экскаватор: он выкопает котлован за 8 дней. Значит, за один день он выкопает \( \frac{1}{8} \) котлована.
   • Второй экскаватор: он выкопает котлован за 12 дней. Значит, за один день он выкопает \( \frac{1}{12} \) котлована.
   • Третий экскаватор: он выкопает котлован за 15 дней. Значит, за один день он выкопает \( \frac{1}{15} \) котлована.

2. Выясним, сколько котлована выкапывают экскаваторы за определенные дни:

   • Первый экскаватор работает 3 дня, значит, он выкопает: \[ 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \text{ котлована}. \]
   • Второй экскаватор работает 5 дней, значит, он выкопает: \[ 5 \times \frac{1}{12} = \frac{5}{12} \text{ котлована}. \]
   • Третий экскаватор работает 2 дня, значит, он выкопает: \[ 2 \times \frac{1}{15} = \frac{2}{15} \text{ котлована}. \]

3. Сложим все части, которые выкопали экскаваторы: Для этого нам нужно привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 8, 12 и 15 равен 120. Приведем дроби к общему знаменателю:

   • \( \frac{3}{8} = \frac{3 \times 15}{8 \times 15} = \frac{45}{120} \)
   • \( \frac{5}{12} = \frac{5 \times 10}{12 \times 10} = \frac{50}{120} \)
   • \( \frac{2}{15} = \frac{2 \times 8}{15 \times 8} = \frac{16}{120} \)

Теперь сложим дроби: \[ \frac{45}{120} + \frac{50}{120} + \frac{16}{120} = \frac{111}{120}. \]

4. Находим, какая часть котлована еще остается выкопать: Полный котлован — это 1, то есть \( \frac{120}{120} \). Тогда: \[ 1 - \frac{111}{120} = \frac{120 - 111}{120} = \frac{9}{120} = \frac{3}{40}. \]

Таким образом, после того как первый экскаватор отработает 3 дня, второй 5 дней, а третий 2 дня, останется выкопать \( \frac{3}{40} \) котлована.