представить в виде суммы дробей 7/(х-2) (х+4)
Чтобы представить дробь \( \frac{7}{(x-2)(x+4)} \) в виде суммы дробей, можно использовать метод разложения на простые дроби. Нам нужно найти такие дроби:
\[ \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+4} \]
где \( A \) и \( B \) — это константы, которые мы должны определить. Объединим дроби:
\[ \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+4} = \frac{A(x+4) + B(x-2)}{(x-2)(x+4)} \]
Теперь приравняем числители:
\[ A(x+4) + B(x-2) = 7 \]
Раскроем скобки:
\[ Ax + 4A + Bx - 2B = 7 \]
Соберем подобные члены:
\[ (A + B)x + (4A - 2B) = 7 \]
Теперь мы можем составить систему уравнений, приравняв коэффициенты:
- \( A + B = 0 \) (коэффициент при \( x \))
- \( 4A - 2B = 7 \) (свободный член)
Решим первое уравнение относительно \( B \):
\[ B = -A \]
Подставим это значение во второе уравнение:
\[ 4A - 2(-A) = 7 \\ 4A + 2A = 7 \\ 6A = 7 \\ A = \frac{7}{6} \]
Теперь подставим значение \( A \) обратно, чтобы найти \( B \):
\[ B = -\frac{7}{6} \]
Теперь мы можем записать исходную дробь как сумму простых дробей:
\[ \frac{7}{(x-2)(x+4)} = \frac{\frac{7}{6}}{x-2} + \frac{-\frac{7}{6}}{x+4} \]
Или более простым образом:
\[ \frac{7}{(x-2)(x+4)} = \frac{7/6}{x-2} - \frac{7/6}{x+4} \]
Таким образом, мы представили дробь \( \frac{7}{(x-2)(x+4)} \) в виде суммы дробей.
