"Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой. "

Пусть ABC - прямоугольный треугольник с катетами AB и BC, а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен r.

По определению, радиус вписанной окружности является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к каждой стороне треугольника.

Из прямоугольного треугольника ABC следует, что BC - гипотенуза, а AB и AC - катеты. Тогда сумма катетов равна AB + AC.

Также из прямоугольного треугольника мы знаем, что гипотенуза равна сумме катетов, деленной на √2 (BC = (AB + AC)/√2).

Подставляя это в уравнение для радиуса окружности, получаем:

r = (AB + AC)/2 - (AB + AC)/2√2 = (AB + AC)(1 - 1/√2)/2 = (AB + AC)(√2 - 1)/(2√2)

Таким образом, радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен (AB + AC)(√2 - 1)/(2√2).