"Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой. "

В данном случае, чтобы доказать данное утверждение, можно воспользоваться теоремой Пифагора и формулой для радиуса вписанной окружности. Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, а c - гипотенуза. Тогда радиус r окружности, вписанной в этот треугольник, можно выразить следующим образом: r = (a + b - c) / 2. Теперь докажем эту формулу: Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами a, b и c. Проведем высоту h, которая опустится из вершины прямого угла на гипотенузу c. Получится два подобных треугольника: маленький треугольник с гипотенузой h и катетами r (расстояние от центра окружности до стороны треугольника), и большой треугольник с гипотенузой c и катетами a-r и b-r. Из подобия треугольников получим следующее соотношение: h / r = c / (a-r+b-r). Заметим, что h = c - (a-r + b-r), то есть h = a + b - c - 2r. Подставим это значение в выражение для h / r и упростим: (a + b - c - 2r) / r = c / (a-r+b-r). Умножим обе части уравнения на (a-r+b-r): (a + b - c - 2r)(a-r+b-r) = c. Раскроем скобки и преобразуем выражение: a^2 - 2ar + ab - ar + r^2 + br - ac + br - 2cr + b^2 - 2br + c^2 = c. Сгруппируем члены соответственно степеням r: r^2(-4) + r(2a + 2b - 4c) + (-a^2 - b^2 + c^2 + 2ac + 2bc) = 0. Разделим уравнение на (-4) и перепишем его в удобной форме: r^2 + (a + b - c)r - (a^2 + b^2 - c^2 - 2ac - 2bc) / 4 = 0. Теперь заметим, что (a + b - c) / 2 = r по условию задачи. Значит, мы получили квадратное уравнение с двумя решениями: r = (a + b - c) / 2 и r = (c - a - b) / 2. Очевидно, что первое решение положительно (так как a, b и c - положительные значения), а второе отрицательно. Значит, радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой.