(2х-2)²(х-2)=(2х-2)(х-2)²

Чтобы решить уравнение \((2x-2)^2(x-2)=(2x-2)(x-2)^2\), начнем с упрощения обоих сторон.

1. Первая часть: \((2x-2)^2\) можно представить как \((2(x-1))^2 = 4(x-1)^2\), поэтому: \[ (2x-2)^2 = 4(x-1)^2 \]

2. Вторая часть: \((x-2)^2\) можно оставить без изменений. Таким образом, уравнение выглядит так: \[ 4(x-1)^2(x-2) = (2(x-1))(x-2)^2 \]

Теперь упростим обе стороны.

3. Левую часть: \[ 4(x-1)^2(x-2) = 4(x^2 - 2x + 1)(x-2) \]

4. Правую часть: \[ (2(x-1))(x-2)^2 = 2(x-1)(x^2 - 4x + 4) \]

Теперь сравним обе стороны через их разложение. Заметим, что можно либо упростить, либо раскрыть скобки. Однако, попробуем решить включая общий множитель.

5. Переносим все в одну сторону: \[ 4(x-1)^2(x-2) - 2(x-1)(x-2)^2 = 0 \]

Факторизуем выражение, выделяя \((x-1)\) и \((x-2)\): \[ (x-1)(x-2)[4(x-1) - 2(x-2)] = 0 \]

Теперь решим это уравнение:

1. \(x-1 = 0\) дает \(x = 1\),
2. \(x-2 = 0\) дает \(x = 2\).

Теперь разберемся с \(4(x-1) - 2(x-2) = 0\): \[ 4x - 4 - 2x + 4 = 0 \] \[ 2x = 0 \Rightarrow x = 0 \]

Таким образом, уравнение имеет три решения: \(x = 0\), \(x = 1\) и \(x = 2\).

Итак, окончательные решения уравнения: \[ x = 0, \; x = 1, \; x = 2. \]