3. Электрон локализован в области размером I = 0,1 нм. С помощью соотношения неопределенностей оценить его минимальную кинетическую энергию Е к min Ответ представить в Джоулях
Чтобы оценить минимальную кинетическую энергию электрона, локализованного в области размером \( I = 0,1 \) нм, мы можем использовать принцип неопределенности Гейзенберга.
Согласно этому принципу, существует соотношение между неопределенностью в положении (\( \Delta x \)) и неопределенностью в импульсе (\( \Delta p \)):
\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]
где \( \hbar \) — редуцированная постоянная Планка, примерно равная \( 1{,}055 \times 10^{-34} \) Дж·с.
В нашем случае \( \Delta x \) равен \( 0{,}1 \) нм, или \( 1 \times 10^{-10} \) м.
Подставляя значения, мы можем найти \( \Delta p \):
\[ \Delta p \geq \frac{\hbar}{2 \Delta x} = \frac{1{,}055 \times 10^{-34}}{2 \times 1 \times 10^{-10}} \approx 5{,}275 \times 10^{-25} \text{ кг·м/с} \]
Теперь, зная неопределенность в импульсе, мы можем оценить минимальную кинетическую энергию. Кинетическую энергию (\( E_k \)) можно выразить через импульс (p):
\[ E_k = \frac{p^2}{2m} \]
где \( m \) — масса электрона, примерно равная \( 9{,}11 \times 10^{-31} \) кг. Теперь мы можем использовать \( \Delta p \) для оценки \( p \):
\[ E_k \approx \frac{(\Delta p)^2}{2m} = \frac{(5{,}275 \times 10^{-25})^2}{2 \times 9{,}11 \times 10^{-31}} \]
Выполним расчеты:
- \( (\Delta p)^2 = (5{,}275 \times 10^{-25})^2 \approx 2{,}78 \times 10^{-49} \text{ (кг·м/с)}^2 \)
- \( 2m = 2 \times 9{,}11 \times 10^{-31} \approx 1{,}822 \times 10^{-30} \)
Теперь подставим значения:
\[ E_k \approx \frac{2{,}78 \times 10^{-49}}{1{,}822 \times 10^{-30}} \approx 1{,}53 \times 10^{-19} \text{ Дж} \]
Таким образом, минимальная кинетическая энергия электрона составляет примерно \( 1{,}53 \times 10^{-19} \) Дж.
