Разложить на множители: х^2-5х+14
Чтобы разложить квадратный трёхчлен \(x^2 - 5x + 14\) на множители, сначала нужно проверить, можем ли мы использовать формулу разложения квадратного трёхчлена. В данном случае у нас есть следующие коэффициенты:
- \(a = 1\) (коэффициент при \(x^2\)),
- \(b = -5\) (коэффициент при \(x\)),
- \(c = 14\) (свободный член).
Для разложения на множители квадратного трёхчлена мы можем использовать дискриминант, который рассчитывается по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Подставим наши значения:
\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 25 - 56 = -31 \]
Дискриминант оказался отрицательным (\(D < 0\)), что означает, что у данного трёхчлена нет действительных корней. Следовательно, его нельзя разложить на множители в области действительных чисел.
Однако, мы можем записать его в виде:
\[ x^2 - 5x + 14 = (x - \frac{5}{2})^2 + \left(14 - \left(\frac{5}{2}\right)^2\right) \]
Расчитаем:
\(\left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} \Rightarrow 14 = \frac{56}{4}\)
Итак:
\[ 14 - \frac{25}{4} = \frac{56}{4} - \frac{25}{4} = \frac{31}{4} \]
Таким образом, можно перезаписать трёхчлен так:
\[ x^2 - 5x + 14 = \left(x - \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{31}{4} \]
Это представление показывает, что трёхчлен может быть описан как сумма квадрата и положительного числа, что также является важной формой для анализа его свойств.
