Пройдя половину пути пешеход увеличил скорость на 25% и поэтому прибыл в пункт назначения на полчаса раньше запланированного. Сколько времени он шёл?

Обозначим время, которое пешеход планировал провести в пути, как \( t \) часов. Тогда его запланированная скорость — это расстояние \( S \) делённое на время \( t \).

Рассмотрим путь до первой половины расстояния. Это занимает \( \frac{t}{2} \) часов. После того как пешеход прошёл первую половину пути, он увеличивает скорость на 25%. Значит, его новая скорость составляет \( 1{,}25 \cdot \frac{S}{t} \).

Время, затраченное на оставшуюся половину пути, составит: \[ \frac{\frac{S}{2}}{1{,}25 \cdot \frac{S}{t}} = \frac{t}{2 \cdot 1{,}25} = \frac{t}{2{,}5} = \frac{2t}{5}. \]

Теперь общее время, которое пешеход потратил, если он пришёл на полчаса раньше, можно выразить как: \[ \frac{t}{2} + \frac{2t}{5} = t - 0{,}5. \]

Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{5t}{10} + \frac{4t}{10} = t - 0{,}5. \] То есть \[ \frac{9t}{10} = t - 0{,}5. \]

Теперь упростим уравнение: \[ \frac{9t}{10} = \frac{10t - 5}{10}. \]

Умножим обе стороны на 10: \[ 9t = 10t - 5. \]

Переносим все \( t \) в одну сторону: \[ 5 = 10t - 9t \implies t = 5. \]

Таким образом, пешеход шёл 5 часов.