На оси абсцисс найдите точку, равноудаленую от точек: а) А (1;2) и В 6;4) б) С (1;1) и D (3;5)

Чтобы найти точку на оси абсцисс, равноудалённую от двух заданных точек, нужно воспользоваться формулой расстояния. Точка на оси абсцисс имеет координаты (x; 0).

а) Точки A (1; 2) и B (6; 4):

1. Расстояние от точки P (x; 0) до A (1; 2): \[ d_A = \sqrt{(x - 1)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + 4} \]

2. Расстояние от точки P (x; 0) до B (6; 4): \[ d_B = \sqrt{(x - 6)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(x - 6)^2 + 16} \]

3. Для точки P (x; 0) быть равноудалённой от A и B, мы приравниваем расстояния d_A и d_B: \[ \sqrt{(x - 1)^2 + 4} = \sqrt{(x - 6)^2 + 16} \]

4. Квадратируем обе стороны уравнения и упрощаем: \[ (x - 1)^2 + 4 = (x - 6)^2 + 16 \] \[ (x - 1)^2 - (x - 6)^2 + 4 - 16 = 0 \] \[ (x - 1 + x - 6)(x - 1 - (x - 6)) = 0 \] \[ (2x - 7)(5) = 0 \] \[ 2x - 7 = 0 \implies x = \frac{7}{2} = 3.5 \]

Итак, искомая точка A и B на оси абсцисс: (3.5; 0).

б) Точки C (1; 1) и D (3; 5):

1. Расстояние от точки P (x; 0) до C (1; 1): \[ d_C = \sqrt{(x - 1)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + 1} \]

2. Расстояние от точки P (x; 0) до D (3; 5): \[ d_D = \sqrt{(x - 3)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + 25} \]

3. Приравниваем расстояния d_C и d_D: \[ \sqrt{(x - 1)^2 + 1} = \sqrt{(x - 3)^2 + 25} \]

4. Квадратируем обе стороны: \[ (x - 1)^2 + 1 = (x - 3)^2 + 25 \] \[ (x - 1)^2 - (x - 3)^2 - 24 = 0 \] \[ (x - 1 + x - 3)(x - 1 - (x - 3)) = 0 \] \[ (2x - 4)(2) = 0 \] \[ 2x - 4 = 0 \implies x = 2 \]

Таким образом, искомая точка на оси абсцисс, равноудалённая от C и D: (2; 0).

Ответ:

а) (3.5; 0)
б) (2; 0)