На оси абсцисс найдите точку, равноудаленую от точек: а) А (1;2) и В (6;4) б) С (1;1) и D (3;5)

Чтобы найти точку на оси абсцисс, равноудалённую от двух заданных точек, нам нужно записать уравнение для расстояния от точки на оси абсцисс до этих двух точек.

Точка на оси абсцисс имеет координаты (x; 0).

а) Для точек А(1; 2) и В(6; 4):

1. Расстояние от точки (x; 0) до точки A(1; 2): \(d_A = \sqrt{(x - 1)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + 4}\)

2. Расстояние от точки (x; 0) до точки B(6; 4): \(d_B = \sqrt{(x - 6)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(x - 6)^2 + 16}\)

Для равенства этих расстояний мы имеем: \[ \sqrt{(x - 1)^2 + 4} = \sqrt{(x - 6)^2 + 16} \]

Квадратируем обе стороны: \[ (x - 1)^2 + 4 = (x - 6)^2 + 16 \]

Раскрывая скобки: \[ x^2 - 2x + 1 + 4 = x^2 - 12x + 36 + 16 \] \[ x^2 - 2x + 5 = x^2 - 12x + 52 \]

Убираем \(x^2\) из обеих сторон: \[ -2x + 5 = -12x + 52 \] Переносим все члены с \(x\) в одну сторону: \[ 10x = 47 \] \[ x = \frac{47}{10} = 4.7 \]

Таким образом, точка, равноудалённая от A и B, имеет координаты (4.7; 0).

б) Для точек C(1; 1) и D(3; 5):

1. Расстояние от точки (x; 0) до точки C(1; 1): \(d_C = \sqrt{(x - 1)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + 1}\)

2. Расстояние от точки (x; 0) до точки D(3; 5): \(d_D = \sqrt{(x - 3)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + 25}\)

Приравниваем расстояния: \[ \sqrt{(x - 1)^2 + 1} = \sqrt{(x - 3)^2 + 25} \]

Квадратируем обе стороны: \[ (x - 1)^2 + 1 = (x - 3)^2 + 25 \]

Раскрываем скобки: \[ x^2 - 2x + 1 + 1 = x^2 - 6x + 9 + 25 \] \[ x^2 - 2x + 2 = x^2 - 6x + 34 \]

Сокращаем \(x^2\): \[ -2x + 2 = -6x + 34 \] Переносим все члены с \(x\) в одну сторону: \[ 4x = 32 \] \[ x = 8 \]

Таким образом, точка, равноудалённая от C и D, имеет координаты (8; 0).

Ответ:

а) (4.7; 0)
б) (8; 0)