Решите неравенство: 1) 2x ^ 2 - 7x + 5 < 0 2) x ^ 2 + 9x >= 0 3) x ^ 2 - x - 12 > 0 2. Решите неравенство методом интервалов: 1) (x + 14)(x - 8) >= 0 ; 2) (x - 5.4)/(x + 1) < 0

Давайте разберем ваши неравенства пошагово для их решения.

1. Решите неравенства:

1) \( 2x^2 - 7x + 5 < 0 \)

Сначала найдем корни квадратного уравнения \( 2x^2 - 7x + 5 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9 \]

Теперь найдём корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]

Теперь у нас есть корни \( x_1 = 2.5 \) и \( x_2 = 1 \). Эти корни разделяют числовую ось на три интервала: \( (-\infty, 1) \), \( (1, 2.5) \) и \( (2.5, +\infty) \).

Теперь проверим знак выражения \( 2x^2 - 7x + 5 \) на каждом интервале:

• Для \( x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \( 2(0)^2 - 7(0) + 5 = 5 > 0 \)
• Для \( 1 < x < 2.5 \) (например, \( x = 2 \)): \( 2(2)^2 - 7(2) + 5 = 8 - 14 + 5 = -1 < 0 \)
• Для \( x > 2.5 \) (например, \( x = 3 \)): \( 2(3)^2 - 7(3) + 5 = 18 - 21 + 5 = 2 > 0 \)

Таким образом, неравенство \( 2x^2 - 7x + 5 < 0 \) выполняется для интервала \( (1, 2.5) \).

Ответ: \( (1, 2.5) \)

2) \( x^2 + 9x \geq 0 \)

Факторизуем выражение:

\[ x(x + 9) \geq 0 \]

Находим корни:

\[ x = 0 \quad \text{и} \quad x + 9 = 0 \Rightarrow x = -9 \]

Корни разделяют числовую ось на три интервала: \( (-\infty, -9) \), \( (-9, 0) \), и \( (0, +\infty) \).

Проверим знак выражения \( x(x + 9) \):

• Для \( x < -9 \) (например, \( x = -10 \)): \( (-10)(-1) = 10 > 0 \)
• Для \( -9 < x < 0 \) (например, \( x = -5 \)): \( (-5)(4) = -20 < 0 \)
• Для \( x > 0 \) (например, \( x = 1 \)): \( (1)(10) = 10 > 0 \)

Таким образом, неравенство \( x^2 + 9x \geq 0 \) выполняется для интервалов \( (-\infty, -9] \) и \( [0, +\infty) \).

Ответ: \( (-\infty, -9] \cup [0, +\infty) \)

3) \( x^2 - x - 12 > 0 \)

Находим корни квадратного уравнения \( x^2 - x - 12 = 0 \):

\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \]

Корни:

\[ x_1 = \frac{1 + 7}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{1 - 7}{2} = -3 \]

Теперь у нас есть корни \( x_1 = 4 \) и \( x_2 = -3 \), которые разделяют ось на три интервала: \( (-\infty, -3) \), \( (-3, 4) \), и \( (4, +\infty) \).

Проверим знак:

• Для \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \)): \( 16 + 4 - 12 = 8 > 0 \)
• Для \( -3 < x < 4 \) (например, \( x = 0 \)): \( 0 - 0 - 12 = -12 < 0 \)
• Для \( x > 4 \) (например, \( x = 5 \)): \( 25 - 5 - 12 = 8 > 0 \)

Таким образом, неравенство \( x^2 - x - 12 > 0 \) выполняется для интервалов \( (-\infty, -3) \) и \( (4, +\infty) \).

Ответ: \( (-\infty, -3) \cup (4, +\infty) \)

---

2. Решите неравенства методом интервалов:

1) \( (x + 14)(x - 8) \geq 0 \)

Корни: \( x + 14 = 0 \Rightarrow x = -14 \); \( x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8 \).

Разделим числовую ось на интервалы: \( (-\infty, -14) \), \( (-14, 8) \), \( (8, +\infty) \).

Проверим знак на каждом интервале:

• Для \( x < -14 \) (например, \( x = -15 \)): \( (-)(-) > 0 \)
• Для \( -14 < x < 8 \) (например, \( x = 0 \)): \( (+)(-) < 0 \)
• Для \( x > 8 \) (например, \( x = 9 \)): \( (+)(+) > 0 \)

Таким образом, неравенство \( (x + 14)(x - 8) \geq 0 \) выполняется на интервале \( (-\infty, -14] \) и \( [8, +\infty) \).

Ответ: \( (-\infty, -14] \cup [8, +\infty) \)

2) \( \frac{x - 5.4}{x + 1} < 0 \)

Находим, при каких \( x \) дробь меняет знак. Корни:

• Числитель: \( x - 5.4 = 0 \Rightarrow x = 5.4 \)
• Знаменатель: \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \)

Интервалы: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 5.4) \), \( (5.4, +\infty) \).

Проверим знак на каждом интервале:

• Для \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \( \frac{-}{-} > 0 \)
• Для \( -1 < x < 5.4 \) (например, \( x = 0 \)): \( \frac{-}{+} < 0 \)
• Для \( x > 5.4 \) (например, \( x = 6 \)): \( \frac{+}{+} > 0 \)

Таким образом, неравенство \( \frac{x - 5.4}{x + 1} < 0 \) выполняется на интервале \( (-1, 5.4) \).

Ответ: \( (-1, 5.4) \)

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими темами, не стесняйтесь спрашивать!