В треугольнике АВС известно, что угол С равен 90°, угол А равен 30°, СD-высота, BD=10. Найдите гипотенузу АВ.

В треугольнике ABC, где угол C равен 90°, угол A равен 30°, а высота CD, проведенная из точки C к стороне AB, имеет некоторые специфические свойства.

В данном случае, так как угол A равен 30°, угол B будет равен 60° (поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°, и 30° + 90° = 120°, следовательно, 180° - 120° = 60°).

Так как известен угол A (30°) и длина отрезка BD (10), можно использовать свойства треугольников, чтобы найти длину гипотенузы AB.

В прямоугольном треугольнике со сторонами, противолежащими углам 30° и 60°, существует известное соотношение:

• Сторона, противолежащая углу 30°, равна половине гипотенузы.
• Сторона, противолежащая углу 60°, равна половине гипотенузы, умноженной на корень из 3.

В данном случае, сторона BD (которая является частью стороны AB и противолежит углу B) будет равна \( BD = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot \sin(30°) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot AB \).

Тем самым, если BD = 10, то: \[ 10 = \frac{1}{4} \cdot AB \] Это приводит к следующему уравнению: \[ AB = 10 \cdot 4 = 40 \]

Итак, гипотенуза AB равна 40.